Delta mi!

Nietrudno zauważyć, że trójkąt jest prostokątny, jest więc wpisany w okrąg o średnicy 6. Dorysowując symetrycznie w tym okręgu drugi, taki sam trójkąt oparty na średnicy, otrzymujemy czworokąt, którego najmniejszy kąt wynosi  Kąt ten oparty jest na pewnym łuku okręgu, kąt środkowy oparty na tym samym łuku to wobec tego  a cięciwa oparta na tym łuku jest jednocześnie podstawą odpowiedniego trójkąta równobocznego i podwojoną szukaną wysokością.

Wszystkie cztery! Wystarczy rozważyć na płaszczyźnie trójkąt rozwartokątny i wziąć w jego wnętrzu taki punkt, by odcinki łączące go z wierzchołkami tworzyły między sobą kąty  Podnosząc w przestrzeni ten punkt nieznacznie do góry, skonstruujemy odpowiedni czworościan.

Próba rozwiązania algebraicznego nie da wiele... Na zadanie można popatrzeć geometrycznie, w przestrzeni trójwymiarowej. Problem sprowadza się do znalezienia punktów przecięcia sfery i płaszczyzny, a przecież pytanie dotyczy tylko liczby rozwiązań.

Skoro prosta ma dzielić trójkąt na dwa trójkąty, musi przechodzić przez wierzchołek. A przez jeden wierzchołek przechodzi dokładnie jedna prosta spełniająca warunki zadania.

Z punktu  prowadzimy półprostą  prostopadłą do  położoną w rozpatrywanej półpłaszczyźnie. Niech  będzie jednym z rozważanych czworokątów. Trójkąt  jest prostokątny, równoramienny. Stąd (i z wypukłości czworokąta  ) wynika, że punkt  leży po tej stronie  co punkt  Półprosta  przecina więc  w pewnym punkcie  tworząc czworokąt wypukły  Ma on kąty proste przy wierzchołkach  i   można na nim opisać okrąg. Zatem  (ostatnia równość zachodzi, bo  jest symetralną odcinka  ). Stąd wniosek, że  jest wierzchołkiem kwadratu, którego jednym bokiem jest odcinek  Jest to szukany punkt wspólny wszystkich możliwych prostych

Przez  i  oznaczmy środki okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąt  i czworokąt

Niech  i  będą rzutami prostokątnymi punktów  i  odpowiednio na  i  Niech wreszcie  i  będą okręgami wpisanymi w trójkąty  i  Chcemy wykazać, że 

Zauważmy, że pola trójkątów  i  są równe, bo podstawy  i  oraz odpowiednie wysokości  i  są równej długości. Skoro  leży na  a  na  to możemy obliczyć pola tych trójkątów innym sposobem, otrzymując

Ale  zaś  gdyż trójkąty prostokątne    są przystające (kąty  i  są równe, boki  i  też). Zatem

Niech  i   będą (odpowiednio) okręgami opisanymi na trójkątach  i   Dwusieczna  kąta  a raczej jej przedłużenie, przecina okrąg  w środku łuku  Oznaczmy ten punkt przez  Zachodzi równość  (znana, a przy tym łatwa do wykazania). Punkt  jest więc środkiem okręgu  Zatem

W punkcie  przecinają się cięciwy  i   okręgu  a także cięciwy  i   okręgu  Tak więc

Równość między skrajnymi iloczynami z kolei dowodzi, że istnieje okrąg  przechodzący przez punkty  Jego cięciwy  i   mają jednakową długość, więc wyznaczają przystające łuki  Oparte na nich kąty  i   (wpisane w okrąg  ) są równe – a to jest teza zadania.

Niech  i  będą punktami przecięcia prostej  odpowiednio z prostymi  i

W trójkącie  dwusieczna  jest prostopadła do boku  Wobec tego  jest środkiem odcinka  Podobnie,  jest środkiem odcinka  Zatem prosta  jest równoległa do prostej  czyli do prostej  na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

Z twierdzenia Brianchona dla zdegenerowanego sześciokąta  proste  i  przecinają się w jednym punkcie. Z kolei z twierdzenia Brianchona dla zdegenerowanego sześciokąta  wynika, że przez punkt przecięcia prostych  przechodzi także prosta  co kończy dowód.

Oznaczmy przez  odpowiednio punkty styczności podstaw  z okręgiem. Wtedy  oraz  przechodzi przez punkt  Z twierdzenia Brianchona dla czworokąta,  przechodzi też przez punkt  Trójkąty  i  są podobne, więc  oraz

Z twierdzenia Brianchona dla zdegenerowanego sześciokąta  proste  przecinają się w jednym punkcie Z twierdzenia Talesa ponieważ  oraz  więc

---

Stąd i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy

Oznaczmy środki okręgów wyznaczonych przez trójki punktów ; ;  odpowiednio przez  Niech  będzie takim punktem, że  jest rombem. Zauważmy, że czworokąty      są rombami o boku długości  Wobec tego  a z definicji punktu  zachodzi  więc  Ponieważ są to odcinki długości  to także  jest rombem o boku długości  Zatem  czyli punkty  leżą na okręgu o środku w punkcie  i promieniu

Środek  odcinka pomiędzy punktami styczności  i  ma jednakową potęgę  względem każdego z okręgów, więc leży na ich osi potęgowej.

Niech  oraz Prosta  jest styczna do  bo Stąd

więc  leży na osi potęgowej  i  Ponadto

więc  także leży na osi potęgowej  i  Oś potęgowa  okręgów  i  jest prostopadła do prostej  łączącej ich środki.

Proste te są osiami potęgowymi, więc teza wynika z twierdzenia 2.

Niech    oraz Punkt  należy do  i  więc osią potęgową tych okręgów jest rozważana w zadaniu prosta przechodząca przez  i prostopadła do prostej  łączącej ich środki. Pozostałe rozważane proste są osiami potęgowymi okręgów  i  oraz  i  Środki  okręgów nie są współliniowe, więc osie potęgowe przecinają się w jednym punkcie.