Nigdy Cię nie zobaczę?

- Hop, hop, jest tam kto? - krzyczy $ﬀ$ otoczona tłumem.
- Hop, hop, spójrz tutaj. - odpowiada $ﬁ;$ który co prawda słyszy $ﬀ;$ ale zupełnie jej nie widzi.
- Jakie "tutaj"? Przecież dookoła nie ma żywej duszy. - $|ﬀ$ otoczona tłumem po raz kolejny usiłuje dostrzec $|ﬁ$ pośród otaczającej pustki.

Dookoła ludzi tłum, a jakby nikogo nie było $|...$ Przyjrzyjmy się światu, w którym $α$ i $|β$ próbują się bezskutecznie dostrzec. Na zwykłej płaszczyźnie

2 R = {(x, y) x, y∈ R},

w każdym jej punkcie o wymiernych współrzędnych $(x,y)$ siedzi samotny człowiek i... wypatruje towarzysza, kierując tęsknie wzrok w losowo obranym kierunku. Ten losowy kierunek jest wyznaczony przez wybór punktu na ruletce o promieniu 1 - zadekretowane prawdopodobieństwo wylosowania półprostej wzroku przebijającej brzeg ruletki na łuku $A$ wynosi $[A]/2 |$ ( $[A] |$ oznacza długość łuku $A$ ). Oczywiście każdy ma swoją osobistą ruletkę i każdy wykręca kierunek swojego spojrzenia niezależnie.

Dla $α ∈ Q2$ niech $Z α$ oznacza zdarzenie, że $α$ kogoś widzi. Wykażemy, że $|P(Z ) = 0, α$ niestety... Zauważmy, że moc zbioru prostych $αβ ,$ gdzie $2 |β∈ Q ,β ≠ α,$ jest nie większa niż moc zbioru punktów $2 β ∈Q ,β ≠ α.$ Oznacza to, że moc zbioru tych prostych jest przeliczalna - stąd teza.

Ale nie tylko $|α$ nikogo nie widzi. Ponieważ miara probabilistyczna jest przeliczalnie addytywna, więc również

P( Z α) = 0. α>Q2

Zatem zdarzenie przeciwne jest pewne

P( Z ′) = 1, α>Q2 α

czyli prawie na pewno nikt nikogo nie widzi. Zauważmy, że założenie o niezależności rozglądania się różnych osób jest w zasadzie zbędne.

No dobrze... Wiemy skądinąd, że zdarzenie niemożliwe może się zdarzyć. Wyobraźmy sobie, że jakimś cudem $α$ spojrzała w przestrzeń tak, że zobaczyła swoją drugą połówkę, którą jest $β$ (oczywiście $β ≠ α$ ). Mimo cudu nie zdołają się zobaczyć! Na drodze między $|α$ i $β,$ dokładnie w połowie, stoi bowiem $γ = α/2+ β /2$ (rzecz jasna $|γ∈ Q2$ ). Oznacza to, że $α$ nie widzi $|β,$ ponieważ jest zasłonięty przez $γ.$ Oczywiście z podobnych powodów $|α$ nie widzi $γ.$ Idąc dalej tym tropem, dochodzimy do wniosku, że na pewno (bez wyjątków i cudów) nikt nie widzi nikogo (bez żadnego modelu probabilistycznego!).

Hmm... Coś jest nie tak w naszym świecie - po prostu ludzie siedzą za gęsto i to prowadzi do powyższych paradoksów interpretacyjnych. Zmieńmy ten świat na lepszy! Usadowmy ludzi wyłącznie w punktach kraty całkowitoliczbowej $|Z2.$ Oczywiście wcześniejszy model probabilistyczny znowu jest użyteczny i daje pewien wgląd w beznadziejną sytuację ludzkości:nikt nie dostrzega innych, prawie na pewno.

Pojawia się jednak naturalne pytanie o prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo sobie przeznaczeni $α ∈ Z2$ oraz $|β ∈Z2$ mogą się zobaczyć, jeśli spojrzą we właściwym kierunku. Niech zatem $α = (a1,a2)$ oraz $β = (b1,b2).$ Łatwo, nomen omen, widzieć, że $|α$ i $β$ mogą się zobaczyć wtedy i tylko wtedy, gdy nikt nie stoi im na drodze, czyli $|NWD(b2 − a2,b1− a1) = 1.$ Dowodzi się w teorii liczb, że

},NWD(a,b)=1} lim card{(a,-b) a,b-∈-{1,2,...,N------------------= -6-≈ 0,6079. ∞2 N N π 2

Oto szkic rozumowania prowadzącego do tego intrygującego wyniku. Niech $|m$ będzie dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując spośród liczb naturalnych, otrzymamy taką, która będzie podzielna przez $m?$ Intuicja podpowiada, że $1/m |$ : jeśli losujemy tę liczbę ze zbioru ${1,2,3,...,n},$ i wylosowanie każdej liczby jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo $|P n$ rozważanego zdarzenia wynosi dokładnie

⌊n/m-- 1- Pn = n i oczywi ście lni m∞ Pn = m.

Należy więc uznać (można to łatwo sformalizować), iż prawdopodobieństwo zdarzenia $Em,$ że dwie niezależnie wylosowane liczby całkowite $|a,b$ są obie podzielne przez $| m,$ wynosi $| 1/m$ Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $′ |Em$ wynosi zatem $1 | − 1/m$ Niech teraz

p1 = 2,p2 = 3,p3 = 5,p4 = 7,...

będzie ciągiem rosnącym wszystkich liczb pierwszych. Zauważmy, że $|a$ i $|b$ są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy nie są podzielne równocześnie przez żadną liczbę pierwszą $pk,$ czyli gdy zajdzie zdarzenie $′ | kEpk.$ Przyda się teraz obserwacja, że jeśli $NWD(m1,$ to zdarzenia $|Em1$ oraz $Em2 |$ są niezależne - wynika to stąd, że liczba całkowita dzieli się jednocześnie przez $m1 |$ oraz $m2, |$ gdy dzieli się przez $m1m2 |$ oraz ze wzoru $|1/(m1m2)$ Uogólniając tę obserwację, widzimy, że zarówno $|(Epk),$ jak i $′ |(Epk)$ są ciągami zdarzeń niezależnych. W szczególności zachodzi

1 P(NWD(a, b) = 1) = P ( E′pk) = M P(Ep′k ) = M (1 − -2) . k k k pk

Już Leonhard Euler zauważył, że dla $s ∈R, s > 1$ mamy

∞ ∞ Q -1 = M ---1--- . n 1ns k 11− 1/psk

Formalnie ta tożsamość wynika ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego

1-- -1- ---1--- 1+ ps + p2s+ ... = 1− 1/ps k k k

i twierdzenia o jednoznacznym rozkładzie każdej liczby naturalnej na iloczyn potęg liczb pierwszych. Wyżej występujące szeregi i iloczyny nieskończone są rzeczywiście zbieżne, ale mówi się, że Euler specjalnie tym się nie przejmował. Geniusz Eulera przejawił się jednak szczególnie wtedy, gdy obwieścił światu, że

∞ -1- π-2 Q n2 = 6 , n 1

i przedstawił wyprowadzenie tego wyniku. Jak na dzisiejsze standardy ścisłości matematycznej jego uzasadnienie nie było do końca zadowalające, ale w zasadzie poprawne. To, że powyższy szereg, tylko niewinnie różniący się od szeregu

∞ ∞ ∞ Q ---1-- = Q ---1----= Q ( 1-−--1-) = (1− -1)+( 1− 1-)+... = 1, n 1n2 + n n 1n(n + 1) n 1 n n +1 2 2 3

ma tak intrygującą sumę, zakrawa na cud! Naszkicowaliśmy zatem dowód faktu, że przeznaczeni sobie mają więcej niż 3 szanse na 5, że nikt im nie stanie na przeszkodzie.