Delta mi!

Niech będzie punktem symetrycznym do względem środka okręgu. Wówczas jest średnicą okręgu, więc cięciwa jest prostopadła do odcinka a więc również równoległa do odcinka W takim razie jest trapezem równoramiennym, w szczególności Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy a stąd

Przednia i tylna ściana danej figury mają wspólny wierzchołek, zatem nie są równoległe. Niech i oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych z oraz z Wówczas każdy z punktów należy do obu płaszczyzn rozważanych powyżej ścian, a więc też do ich wspólnej prostej. Jednak punkty nie są współliniowe, zatem rysunek nie przedstawia wielościanu.

Oznaczmy przez punkt przecięcia prostych i Punkt ten leży w płaszczyźnie przekroju, zatem leży w niej też prosta Stąd brakujący punkt to punkt przecięcia prostych i

Niech będzie punktem przecięcia prostych i Z kształtu trapezu wynika, że oraz że jego pole to pola trójkąta

Z długości krawędzi trójkąta wnioskujemy, że jest on połową trójkąta równobocznego o krawędzi 2. Ponieważ oraz więc

Stąd czworościan jest foremny o krawędzi 2. Jego objętość jest zatem 8-krotnie większa od objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1, więc szukany stosunek objętości równy jest

Prosta leży w płaszczyźnie przedniej ściany ostrosłupa z rysunku, a prosta w płaszczyźnie tylnej ściany, więc punkt należy do obydwu tych płaszczyzn. Ich częścią wspólną jest prosta równoległa do podstawy ostrosłupa (gdyż jest on prawidłowy) i przechodząca przez wierzchołek Stąd jedyną wartością, jaką może przyjąć odległość punktu od płaszczyzny podstawy, jest wysokość ostrosłupa równa

Sześcian i jego widok wzdłuż przekątnej

Krawędzie i są równoległe, leżą więc w jednej płaszczyźnie Stąd punkt też do niej należy; podobnie należy on także do Punkty również leżą w jednej płaszczyźnie.

Powyższe trzy płaszczyzny mają wspólną prostą i każda z nich zawiera inną z trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka Oznacza to, że płaszczyzny te tworzą równe kąty dwuścienne, czyli kąty po

Prosta jest prostopadła do więc jest nachylona do boków prostokąta pod kątem Ponadto kąt środkowy oparty na cięciwie jest prosty, a stąd

Czworokąt jest opisany na okręgu o średnicy W takim razie kąty i są równe.

Otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. Analogicznie trójkąty i są podobne. W takim razie mamy podobieństwo trójkątów i a stąd

Bezpośrednio stąd wynika, że pole prostokąta jest równe

Zbudujmy taki trójkąt równoboczny że punkt leży w jego wnętrzu. Wówczas punkty i leżą na symetralnej odcinka więc Ponadto

W takim razie trójkąty i są przystające, w szczególności Stąd łatwo otrzymujemy

Punkty są położone na bokach symetrycznie (względem środków owych boków) do punktów w których okrąg wpisany jest do boków styczny. Przyjmijmy oznaczenia:

Oznaczając pole trójkąta nawiasem kwadratowym, uzyskujemy ciąg równości

Zastępując w liczniku przez otrzymujemy po krótkim rachunku wzór

(*)

Pozostaje teraz skorzystać ze znanych wzorów, wyrażających pole trójkąta (jak zwykle, i to promienie okręgów wpisanego i opisanego):

Dostajemy związki oraz które po wprowadzeniu do równości dają tezę zadania.

Niech będzie punktem przecięcia prostej z prostą a różnym od punktem przecięcia tej prostej z okręgiem opisanym na trójkącie (rysunek). Wówczas oraz

W takim razie trójkąty i są podobne, w szczególności Stąd prosta jest prostopadła do a więc również równoległa do - symetralnej Analogicznie proste i są równoległe. W takim razie odcinki i przecinają się w połowie jako przekątne równoległoboku.

---

W podobny sposób możemy pokazać, że prosta przechodzi przez środek odcinka co daje tezę.

Niech będzie punktem przecięcia przekątnych danego równoległoboku. Wówczas jest środkiem odcinka i odcinki przecinają się w jednym punkcie jako środkowe trójkąta

Z warunku wynika, że punkt jest środkiem łuku danego okręgu i kąty wpisane i są równe. Prosta jest więc dwusieczną kąta w trójkącie ; analogicznie proste i są dwusiecznymi pozostałych kątów tego trójkąta.

Niech będzie takim punktem boku że wtedy Wówczas punkty i są symetryczne względem dwusiecznej kąta zatem prosta jest symetralną odcinka Analogicznie prosta jest symetralną odcinka Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie a stąd

Niech i będą punktami przecięcia prostej odpowiednio z prostymi i Wobec równości kątów, trójkąty i są równoramienne i podobne, a stąd Symetralna boku jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku w trójkącie a więc także w trójkącie Podobnie symetralna odcinka jest dwusieczną kąta zatem jest punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta równoramiennego Dwusieczna jest więc prostopadła do podstawy

Obróćmy kwadrat o wokół środka tak, by punkt przeszedł na punkt natomiast kwadrat o wokół swojego środka tak, by punkt przeszedł na punkt Przy obydwu tych obrotach odcinek przechodzi na ten sam odcinek o końcu w punkcie prostopadły do i równy Nazwijmy drugi jego koniec wówczas punkty są współliniowe.

Przy pierwszym obrocie odcinek przechodzi na stąd Przy drugim obrocie odcinek przechodzi na zatem Wobec tego proste są wysokościami trójkąta

"Potnijmy" sześciokąt wzdłuż odcinków łączących jego wierzchołki ze środkiem okręgu opisanego i z otrzymanych sześciu trójkątów "ułóżmy" nowy sześciokąt jak na rysunku.

Okręgi opisane na obu sześciokątach mają jednakowe promienie.

Niech oznacza środek okręgu opisanego na sześciokącie Z przystawania czworokątów i wiemy, że kąty wewnętrzne sześciokąta są przystające, mają więc po Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy Trójkąt jest trójkątem równoramiennym o kącie w wierzchołku Stąd możemy obliczyć szukany promień, równy

Jeśli kąt jest prosty, to jest dwusieczną kąta przyległego do kąta czworokąta. Z kolei aby dowieść, że kąt jest prosty, wystarczy wykazać, że jest dwusieczną kąta przyległego do kąta czworokąta.

---

Oznaczmy przez odległość punktu od prostej Zachodzą równości oraz co kończy dowód.