Zadania z matematyki - I 2020»Zadanie 1626
Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie
jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego
o boku 1.
Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie
jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego
o boku 1.
Okręgi i
przecinają się w punktach
i
Środek
okręgu
leży na okręgu
i jest końcem jego średnicy
Cięciwa
okręgu
niebędąca średnicą, przecina okrąg
oraz odcinek
odpowiednio w punktach
oraz
Prosta przechodząca przez
równoległa do
przecina odcinek
w punkcie
Dowieść, że prosta
przechodzi przez środek odcinka
Na czworokącie można opisać okrąg. Niech
będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. Załóżmy, że dwusieczna kąta
przecina prostą
w punkcie
zaś prostą
w punkcie
; niech ponadto dwusieczna kąta
przecina prostą
w punkcie
zaś prostą
w punkcie
Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach
mają punkt wspólny.
Dany jest kwadrat Punkty
i
leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów
i
mają tę własność, że
Wykazać, że
gdzie oznacza pole figury
Dany jest kwadrat Punkty
i
leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów
i
mają tę własność, że
Wykazać, że
Na bokach trójkąta ostrokątnego
po jego zewnętrznej stronie, zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne
z kątami prostymi przy wierzchołkach
Odcinki
i
przecinają się w punkcie
Punkty
i
są środkami odcinków
i
Udowodnić, że każda z prostych
jest prostopadła do prostej
Odrobina klasyki:
Dany jest trapez o podstawach
i
Okręgi o średnicach
i
przecinają się w punktach
i
Przekątne trapezu przecinają się w punkcie
Dowieść, że punkty
i
leżą na jednej prostej.
Odcinek jest wysokością trójkąta
w którym
Okrąg o środku
i promieniu
oraz okrąg opisany na trójkącie
przecinają się w punktach
i
Dowieść, że prosta
przechodzi przez środek odcinka
Z punktu poprowadzono styczne do okręgu
o środku
w punktach
i
Punkt
jest środkiem odcinka
Okrąg
przechodzący przez punkty
i
przecina okrąg
w punktach
i
Wykazać, że punkty
i
leżą na jednej prostej.
Dany jest trójkąt Okrąg styczny do odcinków
i
przecina odcinek
w punktach
i
Wykazać, że
Punkt jest środkiem okręgu opisanego, a punkt
ortocentrum trójkąta ostrokątnego i różnobocznego
Punkty
i
leżą odpowiednio na odcinkach
i
przy czym czworokąt
jest równoległobokiem. Wykazać, że
Średnica i prostopadła do niej cięciwa
okręgu
przecinają się w punkcie
Okrąg
jest styczny (wewnętrznie) do okręgu
i do odcinków
oraz
Niech
będzie punktem styczności okręgu
do odcinka
Wykazać, że
Pięciokąt jest wpisany w okrąg o środku
; przy tym
Przekątne
i
są prostopadłe, zaś przekątne
i
przecinają się w takim punkcie
że
Wykazać, że trójkąt
jest równoboczny.
Trójkąty i
są równoboczne i leżą na zewnątrz równoległoboku
Udowodnić, że trójkąt
też jest równoboczny.
Dany jest sześciokąt foremny Punkty
i
są środkami odcinków odpowiednio
i
Dowieść, że trójkąt
jest równoboczny.
Punkty i
leżą odpowiednio na bokach
i
prostokąta
przy czym trójkąt
jest równoboczny. Punkt
jest środkiem odcinka
Wykazać, że trójkąt
jest równoboczny.
Punkty i
leżą kolejno na prostej
Punkty
i
leżą po tej samej stronie prostej
przy czym trójkąty
i
są równoboczne. Punkty
i
są środkami odcinków odpowiednio
i
Udowodnić, że trójkąt
jest równoboczny.
Dany jest czworokąt wypukły i punkt
wewnątrz niego, przy czym zachodzą równości:
i
Dowieść, że środki odcinków
i
są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Na bokach trójkąta na zewnątrz niego, zbudowano trójkąty równoboczne
i
Środkami tych trójkątów są odpowiednio punkty
i
Dowieść, że trójkąt
jest równoboczny (twierdzenie Napoleona).
Dany jest trapez o podstawach
i
w którym
Na boku
tego trapezu leży taki punkt
że
Wykazać, że
Punkt leży wewnątrz sześciokąta foremnego
Udowodnić, że suma pól trójkątów
i
jest równa sumie pól trójkątów
i
W czworokącie wypukłym mamy
Wykazać, że
W czworościanie wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku
mają miarę
Wykazać, że
Dany jest trójkąt w którym
Punkt
jest środkiem boku
Na odcinkach
i
wybrano odpowiednio takie punkty
i
że
Wykazać, że
W trójkącie mamy
Punkty
i
leżą na bokach odpowiednio
i
przy czym proste
i
są dwusiecznymi kątów trójkąta
Udowodnić, że
Trójkąt w którym
jest podstawą ostrosłupa
Ponadto zachodzą równości
oraz
Udowodnić, że
Wewnątrz trójkąta ostrokątnego wybrano taki punkt
dla którego wartość wyrażenia
jest najmniejsza (punkt Fermata-Torricellego). Wykazać, że
Dana jest liczba całkowita Każdy bok i każdą przekątną
-kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z
kolorów w taki sposób, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego
-kąta. Wykazać, że
jest liczbą nieparzystą.