Delta mi!

Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1.

Okręgi i przecinają się w punktach i Środek okręgu leży na okręgu i jest końcem jego średnicy Cięciwa okręgu niebędąca średnicą, przecina okrąg oraz odcinek odpowiednio w punktach oraz Prosta przechodząca przez równoległa do przecina odcinek w punkcie Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. Przez środek każdego z odcinków poprowadzono proste prostopadłe do przeciwległych boków czworokąta Proste te ograniczają obszar będący czworokątem wypukłym. Wykazać, że w ten czworokąt również można wpisać okrąg.

Na czworokącie można opisać okrąg. Niech będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. Załóżmy, że dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie ; niech ponadto dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach mają punkt wspólny.

Dany jest kwadrat Punkty i leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów i mają tę własność, że Wykazać, że

gdzie oznacza pole figury

Dany jest kwadrat Punkty i leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów i mają tę własność, że Wykazać, że

Na bokach trójkąta ostrokątnego po jego zewnętrznej stronie, zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne z kątami prostymi przy wierzchołkach Odcinki i przecinają się w punkcie Punkty i są środkami odcinków i Udowodnić, że każda z prostych jest prostopadła do prostej

Odrobina klasyki:

(a)

W kąt o wierzchołku wpisano dwa okręgi: styczny do ramion kąta w punktach i oraz - w punktach i Wykazać, że okręgi te wyznaczają cięciwy jednakowej długości na ich wspólnej siecznej

(b)

Na każdej wspólnej stycznej dwóch rozłącznych zewnętrznie okręgów zaznaczono odcinek łączący punkty styczności. Dowieść, że środki wszystkich czterech zaznaczonych odcinków leżą na jednej prostej.

(c)

Okręgi i przecinają się w punktach i Z punktu leżącego na prostej poprowadzono styczną do w punkcie i do w punkcie Udowodnić, że trójkąt jest równoramienny.

Dany jest trapez o podstawach i Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i Przekątne trapezu przecinają się w punkcie Dowieść, że punkty i leżą na jednej prostej.

Odcinek jest wysokością trójkąta w którym Okrąg o środku i promieniu oraz okrąg opisany na trójkącie przecinają się w punktach i Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

Z punktu poprowadzono styczne do okręgu o środku w punktach i Punkt jest środkiem odcinka Okrąg przechodzący przez punkty i przecina okrąg w punktach i Wykazać, że punkty i leżą na jednej prostej.

Dany jest trójkąt Okrąg styczny do odcinków i przecina odcinek w punktach i Wykazać, że

Punkt jest środkiem okręgu opisanego, a punkt ortocentrum trójkąta ostrokątnego i różnobocznego Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i przy czym czworokąt jest równoległobokiem. Wykazać, że

Średnica i prostopadła do niej cięciwa okręgu przecinają się w punkcie Okrąg jest styczny (wewnętrznie) do okręgu i do odcinków oraz Niech będzie punktem styczności okręgu do odcinka Wykazać, że

Pięciokąt jest wpisany w okrąg o środku ; przy tym Przekątne i są prostopadłe, zaś przekątne i przecinają się w takim punkcie że Wykazać, że trójkąt jest równoboczny.

Trójkąty i są równoboczne i leżą na zewnątrz równoległoboku Udowodnić, że trójkąt też jest równoboczny.

Dany jest sześciokąt foremny Punkty i są środkami odcinków odpowiednio i Dowieść, że trójkąt jest równoboczny.

Punkty i leżą odpowiednio na bokach i prostokąta przy czym trójkąt jest równoboczny. Punkt jest środkiem odcinka Wykazać, że trójkąt jest równoboczny.

Punkty i leżą kolejno na prostej Punkty i leżą po tej samej stronie prostej przy czym trójkąty i są równoboczne. Punkty i są środkami odcinków odpowiednio i Udowodnić, że trójkąt jest równoboczny.

Dany jest czworokąt wypukły i punkt wewnątrz niego, przy czym zachodzą równości: i Dowieść, że środki odcinków i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Na bokach trójkąta na zewnątrz niego, zbudowano trójkąty równoboczne i Środkami tych trójkątów są odpowiednio punkty i Dowieść, że trójkąt jest równoboczny (twierdzenie Napoleona).

Dany jest trapez o podstawach i w którym Na boku tego trapezu leży taki punkt że Wykazać, że

Punkt leży wewnątrz sześciokąta foremnego Udowodnić, że suma pól trójkątów i jest równa sumie pól trójkątów i

W czworokącie wypukłym mamy Wykazać, że

W czworościanie wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku mają miarę Wykazać, że

Dany jest trójkąt w którym Punkt jest środkiem boku Na odcinkach i wybrano odpowiednio takie punkty i że Wykazać, że

W trójkącie mamy Punkty i leżą na bokach odpowiednio i przy czym proste i są dwusiecznymi kątów trójkąta Udowodnić, że

Trójkąt w którym jest podstawą ostrosłupa Ponadto zachodzą równości oraz Udowodnić, że

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego wybrano taki punkt dla którego wartość wyrażenia jest najmniejsza (punkt Fermata-Torricellego). Wykazać, że

Dana jest liczba całkowita Każdy bok i każdą przekątną -kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z kolorów w taki sposób, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego -kąta. Wykazać, że jest liczbą nieparzystą.