Jeśli to punkty i pokrywają się i punkty leżą na dwusiecznej Dalej zakładamy, że Wówczas punkty i są różne, zaś proste i nie są równoległe. Rozważmy złożenie inwersji o środku i promieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta Przekształcenie to zamienia półproste i oraz prostą z okręgiem Tak jak w poprzednim zadaniu uzasadniamy, że obrazem okręgu jest okrąg dopisany do trójkąta styczny do boku w punkcie który jest obrazem punktu w tym przekształceniu. Ponieważ jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta to proste i są prostopadłe. W takim razie obrazem punktu jest punkt przecięcia prostej (która jest swoim własnym obrazem) z prostą (która jest obrazem okręgu ). Niech będzie obrazem punktu Wtedy z definicji inwersji mamy

czyli

Z powyższego i z równości (bo inwersja zachowuje kąty) otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. W takim razie Ponieważ to mamy

skąd

Zatem jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta więc jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta W takim razie co wraz z równością (bo ) oznacza, że punkty i leżą na jednym okręgu. To zaś jest równoważne z tym, że punkty są współliniowe.