Bańka jaka jest, każdy widzi

Każdy widział kiedyś bańki mydlane. Nie ma co ukrywać, są one okrągłe. Tylko dlaczego?

Nie wiadomo, czemu to pytanie miałoby służyć, ale zastanówmy się chwilę. Czy gdyby się postarać, to czy można wydmuchać bańkę-torus, czyli bańkę w kształcie dętki rowerowej? A jeśli już bańka musi mieć kształt sfery, to czy może być to sfera zdeformowana, na przykład zwężona w talii? Doświadczenie mówi, że nie - o ile bańka nie jest za ciężka, to już chwilę po wydmuchaniu przybiera kształt idealnie okrągłej sfery. Zobaczmy więc, jaka matematyka (i oczywiście fizyka) za tym stoi.
Przy dmuchaniu bańki wtłaczamy do niej powietrze o ciśnieniu wyższym niż atmosferyczne. Równanie Younga-Laplace'a stwierdza, że w dowolnym punkcie powierzchni bańki zachodzi wzór

gdzie jest napięciem powierzchniowym (współczynnikiem zależnym od parametrów materiału; w przypadku baniek mydlanych możemy przyjąć, że jest ono stałe na całej powierzchni),
oznacza różnicę ciśnień po obu stronach bańki w punkcie
a
oznacza średnią krzywiznę powierzchni w tym punkcie. Zgodnie ze znanym ze szkoły prawem Pascala, ciśnienie jest stałe na zewnątrz bańki i stałe w jej wnętrzu, a więc różnica
tak naprawdę nie zależy od wyboru punktu. To samo tyczy się zatem średniej krzywizny.

Rys. 1
Pozostaje wyjaśnić, czym ta średnia krzywizna jest. Żeby ją określić, potrzebujemy oprzeć naszą powierzchnię na płaszczyźnie
tak, by jej punkt
dotykał początku układu współrzędnych (Rys. 1). Następnie wybieramy funkcję kwadratową dwóch zmiennych, czyli funkcję postaci
której wykres najlepiej przybliża
w otoczeniu
i definiujemy średnią krzywiznę jako

Średniej krzywizny nie należy mylić z krzywizną Gaussa, którą definiuje się w podobny sposób jako
Nazwa średnia bierze się stąd, że gdybyśmy przecięli jakąś płaszczyzną zawierającą oś
i dla powstałej na przecięciu krzywej obliczyli krzywiznę w punkcie
to
równa się średniej wartości wszystkich uzyskanych w ten sposób pomiarów. Można powiedzieć nieściśle, że im większa krzywizna, tym bardziej powierzchnia zagina się do wewnątrz.

Przykładowo, jeśli sferę o promieniu położyć w wyżej opisany sposób, to dolna półsfera jest wykresem funkcji
W otoczeniu zera najlepiej przybliża ją funkcja kwadratowa
więc średnia krzywizna wynosi
Oczywiście nie ma znaczenia, który punkt obraliśmy jako punkt podparcia, więc sfera ma stałą średnią krzywiznę równą
W latach pięćdziesiątych XX wieku Aleksandr Aleksandrow wykazał, że jest to jedyna zamknięta (czyli ograniczona, domknięta i pozbawiona brzegu, który ma na przykład półsfera) powierzchnia o tej własności:
Twierdzenie (Aleksandrow). Jeśli spójna i zamknięta powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej ma taką samą średnią krzywiznę
w każdym swoim punkcie, to jest sferą o promieniu
Twierdzenie to wyjaśnia okrągłość baniek. Rzeczywiście, powierzchnia pojedynczej bańki jest ograniczona i spójna, a z praw Pascala i Younga-Laplace'a wynika, że w każdym punkcie ma tę samą średnią krzywiznę. Z twierdzenia Aleksandrowa wnioskujemy więc, że musi być to sfera. Ponieważ powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie są interesujące same w sobie, naszkicujemy teraz dowód twierdzenia. Będzie on oparty na następującym fakcie, którego uzasadnienie odłożymy na później.
Lemat 1. Jeśli powierzchnia spełnia założenia twierdzenia Aleksandrowa i ma środek ciężkości w punkcie
to jest symetryczna względem każdej płaszczyzny przechodzącej przez
Twierdzenie Aleksandrowa jest natychmiastowym wnioskiem z powyższego lematu. Istotnie, weźmy dowolny punkt różny od
Pokażemy, że
pokrywa się ze sferą
o środku
i promieniu
Dla każdego punktu
można znaleźć płaszczyznę przechodzącą przez
względem której punkty
i
są symetryczne, a więc z symetrii
wynika
To pokazuje zawieranie
ale skoro
jest spójną powierzchnią, to
i
muszą być równe. Jak obliczyliśmy wcześniej, promień musi wynosić
by zgadzała się krzywizna.
Naszkicujemy zaraz uzasadnienie Lematu 1, ale najpierw przedstawimy dwa pomocnicze fakty. Rozważmy sytuację, w której dwie powierzchnie są umieszczone jak
na rysunku 1, przy czym w pewnym otoczeniu początku układu współrzędnych
powierzchnia
znajduje się nad
(z możliwymi punktami styku, na przykład w
). Wówczas odpowiadające im funkcje kwadratowe
są związane relacją
z której w szczególności odczytujemy
Nierówność ta jest zresztą zgodna z intuicją: "większe zakrzywienie do wewnątrz = większa krzywizna". Uzasadniliśmy w ten sposób
Lemat 2 (Słaba zasada maksimum). Jeśli dane są powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie
przy czym
znajduje się nad
oraz
to powierzchnie te nie mogą się stykać w punktach wewnętrznych.
Do dowodu Lematu 1 będzie jednak potrzebna tak zwana silna zasada maksimum, która stwierdza, że również w przypadku powierzchnie nie mogą się stykać, chyba że są jedną i tą samą powierzchnią; ponadto użyteczny będzie analogiczny wynik w przypadku, gdy punkt styku leży na brzegu obu powierzchni.
Lemat 3 (silna zasada maksimum). Dane są dwie różne powierzchnie o tej samej stałej średniej krzywiźnie, przy czym
znajduje się nad
Wówczas:
- (a)
- powierzchnie te nie mogą się stykać w punktach wewnętrznych,
- (b)
- jeśli
mają brzeg i stykają się w punkcie brzegowym, to nie mogą mieć w tym punkcie tej samej płaszczyzny stycznej.
Uzasadnienie wymagałoby wprowadzenia narzędzi równań różniczkowych cząstkowych i w związku z tym wykracza poza możliwości niniejszego artykułu. Czytelnik być może zechce uwierzyć mi na słowo, że idea dowodu nie odbiega znacząco od tego, co już zauważyliśmy przy Lemacie 2. Tymczasem przejdziemy do geometrycznej części rozumowania.
Dowód Lematu 1. Zauważmy, że jeśli powierzchnia ma jakąś płaszczyznę symetrii, to jej środek ciężkości automatycznie musi leżeć na owej płaszczyźnie. Wystarczy więc, że znajdziemy płaszczyznę symetrii w każdym możliwym kierunku. Dla uproszczenia zapisu skupimy się na szukaniu płaszczyzny symetrii równoległej do płaszczyzny
a więc wśród rodziny
parametryzowanej przez
Dla każdego innego kierunku dowód wygląda analogicznie.

Rys. 2 w dwóch fazach ruchu - tuż przed i tuż po krytycznym momencie
Poniższe rozumowanie nosi obecnie nazwę metody ruchomych płaszczyzn, a to dlatego, że będziemy przesuwać płaszczyznę (poprzez zmianę parametru
) tak długo, aż znajdziemy płaszczyznę symetrii.
Wprowadźmy pewne oznaczenia. Dla ustalonego niech
będzie częścią
znajdującą się odpowiednio nad i pod płaszczyzną
Ponadto część
odbitą względem
oznaczymy przez
- z nadzieją na równość
która kończyłaby dowód. Przeanalizujmy, jak ta konfiguracja zależy od
Dla odpowiednio małych wartości
płaszczyzna
przebiega poniżej
w rezultacie
i
są puste. Następnie dla pewnego zakresu
powierzchnia
znajduje się pod
; od teraz interesować nas będzie największa wartość
dla której ma to miejsce.

Rys. 3 Dwie możliwości w krytycznym momencie
Przypuśćmy, że w tym krytycznym momencie powierzchnie
i
się nie pokrywają. Zauważmy, że mają tę samą stałą średnią krzywiznę
oraz wspólny brzeg, mianowicie przecięcie
Ponadto
cały czas znajduje się poniżej
jest to jednak ostatni taki moment - rysunek 3 ilustruje dwie możliwości, jak może on wyglądać (zachęcam Czytelnika do uzasadnienia, że innych możliwości nie ma). W pierwszym przypadku
mają wewnętrzny punkt wspólny, co jest wykluczone przez Lemat 3(a); w drugim zachodzi zgodność płaszczyzn stycznych w którymś z punktów brzegowych, co z kolei przeczy Lematowi 3(b).
Sprzeczność ta pokazuje, że dla tej szczególnej wartości powierzchnie
i
istotnie muszą się pokrywać, a więc
jest szukaną płaszczyzną symetrii
Jak już zauważyliśmy wcześniej, w takim przypadku
przechodzi przez środek ciężkości
natomiast wybrany kierunek nie miał znaczenia dla dowodu.

Rys. 4 Immersja butelki Kleina w
Z ciekawymi problemami w matematyce często jest tak, że ich rozwiązanie stanowi bardziej początek niż koniec historii. Tak było i w tym przypadku - wprowadzona przez Aleksandrowa metoda ruchomych płaszczyzn znalazła zastosowanie w przeróżnych zagadnieniach, niekoniecznie w kontekście powierzchni o stałej średniej krzywiźnie. Natomiast klasyfikacja takich powierzchni jest nadal aktywnie uprawianą dziedziną badań. Jednym z odgałęzień tej dziedziny jest dopuszczenie możliwych samoprzecięć, czyli rozważanie tak zwanych powierzchni immersyjnych (przykładem jest tzw. butelka Kleina).
Rodzina możliwych rozwiązań tego typu okazuje się bogatsza, choć nie jest łatwo się o tym przekonać. Dopiero w 1984 Henry Wente skonstruował różny od sfery "immersyjny przykład" powierzchni o stałej, średniej krzywiźnie - był to torus z samoprzecięciami.