Delta mi!

Odpowiedź: Nie!
Zauważmy najpierw, że punkt jest środkiem symetrii zbioru Istotnie, symetria o środku przeprowadza wektor na Dla dowolnego w postaci mamy

Przypuśćmy, że dla pewnych wektorów zbiór to ośmiościan foremny i że jest najmniejsze możliwe (oczywiście ). Zauważmy, że wtedy jest ścianą czyli trójkątem równobocznym, który nie ma środka symetrii – sprzeczność.

Niech będzie środkiem boku a – spodkiem wysokości z wierzchołka Ponieważ jest środkiem okręgu opisanego, więc kąt jest prosty oraz (kąt środkowy i wpisany). Oczywiście więc trójkąty i są podobne. Trójkąt jest połową trójkąta równobocznego, mamy więc Stąd trójkąty i są przystające, a dokładniej jeden jest obrazem drugiego w symetrii względem dwusiecznej kąta co daje tezę.

Równoległościanem opisanym na czworościanie foremnym o krawędzi 1 jest sześcian o krawędzi

Suma odległości punktu  od dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu jest nie mniejsza od sumy odległości  od zawierających je przeciwległych ścian sześcianu, która z kolei jest większa lub równa odległości pomiędzy takimi ścianami, czyli długości krawędzi sześcianu. Czworościan ma trzy pary przeciwległych krawędzi, stąd

Tak, dla każdego czworościanu  zbudujemy czworościan  o żądanych własnościach. Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była większa od pola każdej ściany czworościanu  Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była mniejsza od objętości czworościanu

Niech  będzie czworościanem wpisanym w prostopadłościan o podstawie  i wysokości  Objętość  równa jest  Każdą ścianę czworościanu  można zrzutować na połowę podstawy prostopadłościanu, więc jej pole przekracza  Z definicji liczb  i   czworościany  i   spełniają żądane warunki.

Wykażemy, że nie można. Rozważmy czworościany  i   wpisane odpowiednio w prostopadłościany o wymiarach  oraz

Promienie opisanych na nich kul to połowy głównych przekątnych prostopadłościanów, więc są one równe:  oraz

Z twierdzenia Pitagorasa, każda ściana czworościanu  jest trójkątem o bokach  oraz  Wysokość takiego trójkąta, opuszczona na bok o długości  równa jest

Stąd pole każdej ze ścian czworościanu  równe jest

Analogicznie pole każdej ściany czworościanu  też równe jest

Czworościany  i   mają więc równe pola ścian i promienie kul opisanych. Tymczasem ich objętości są różne:  oraz

Niech będzie obrazem punktu przy obrocie wokół o jak na rysunku. Wówczas Ponadto, skoro i to trójkąt jest równoboczny. Zatem

W takim razie trójkąty są podobne (kkk). Stąd

W połączeniu z równością oznacza to, że trójkąty i są podobne (bkb). Zatem więc również Ponadto oraz

czyli Tym samym trójkąty i są przystające (bkb). Z definicji punktu trójkąt jest obrazem trójkąta przy obrocie co kończy dowód.

Niech  będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie  Ponieważ trójkąt  jest równoramienny, dwusieczna kąta  to symetralna odcinka  więc leży na niej punkt  Oznaczmy  Wówczas  a skoro  to

skąd łatwo otrzymać  Równość  jest równoważna  czyli  A to jest równoważne temu, że  jest połówką trójkąta równobocznego lub że  jest środkiem

Nie. Wystarczy spojrzeć na dowolny wierzchołek: suma dwóch mniejszych kątów przy nim równa jest  czyli trzeciemu kątowi.

Nie. Kąty płaskie przy wierzchołku  spełniają warunek  Z kolei rozważając kąt trójścienny przy  oraz trójkąty prostokątne  i   wnioskujemy, że

czyli – sprzeczność.

Suma wszystkich kątów płaskich czworościanu równa jest  jako suma kątów czterech trójkątów. Wobec tego istnieje taki wierzchołek czworościanu, przy którym suma trzech kątów płaskich nie przekracza  w przeciwnym razie suma wszystkich kątów płaskich czworościanu przekraczałaby

Oznaczmy kąty płaskie przy tym wierzchołku przez  Wówczas  więc

czyli  Analogicznie  oraz

Z danych równości wynika, iż wszystkie ściany rozważanego czworościanu są trójkątami przystającymi. Oznaczmy kąty ściany  przez ; ich suma to  W każdym wierzchołku czworościanu schodzą się takie właśnie trzy kąty płaskie. Stąd  więc  czyli  Analogicznie  oraz

Obróćmy ścianę  danego czworościanu wokół krawędzi  tak, aby znalazła się w płaszczyźnie ściany  ale po przeciwnej stronie prostej  Na uzyskanym w ten sposób czworokącie  można opisać okrąg, gdyż

Analizując kąty wpisane w ten okrąg, oparte na równych łukach, dostajemy

przy czym ostatnią nierówność otrzymujemy, rozważając kąt trójścienny przy wierzchołku  czworościanu. To kończy dowód.

Oznaczmy przez  i   rozpatrywane sfery. Niech  będzie stożkiem o wierzchołku  w który wpisane są sfery  i  (każda tworząca stożka  jest wspólną styczną sfer  i  ). Posługując się sferami Dandelina, wnioskujemy, że część wspólna płaszczyzny  i stożka  jest elipsą wpisaną w trójkąt  a punkty  i   to jej ogniska. W takim razie spełnione są równości

Wiadomo, że jeśli punkt  jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie  a   punktem przecięcia jego wysokości, to powyższe równości są spełnione. Z drugiej strony dla danego punktu  punkt  jest jednoznacznie wyznaczony przez powyższe zależności. Skoro więc  jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie  to  musi być punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

Niech  będzie stożkiem o wierzchołku  w który wpisana jest sfera wpisana w ostrosłup  Część wspólna tego stożka z płaszczyzną podstawy jest elipsą wpisaną w czworokąt  a punkt  jest jej ogniskiem. Teza zadania jest po prostu jedną ze znanych własności elipsy wpisanej w czworokąt.

Przyjmijmy zwykłe oznaczenia:  Równości

dodajemy stronami i otrzymujemy

To znaczy, że punkty  i   leżą po przeciwnych stronach prostej  w jednakowych odległościach od odpowiednich końców odcinka :

Wobec równoramienności trójkąta  oznacza to z kolei, że punkty  i   leżą w jednakowych odległościach od prostej  Stąd już wynika, że ta prosta przechodzi przez środek odcinka

Przyjmijmy oznaczenia punktów styczności okręgów wpisanych z bokami czworokątów jak na rysunku. Warunek  jest równoważny  gdyż  i   Zauważmy, że

Zatem

Oznaczmy boki danego trójkąta przez  tak, by pole było równe  Korzystając z nierówności  uzyskujemy wtedy

Dowody pozostałych dwóch nierówności trójkąta są analogiczne.

Oznaczmy boki i pole danego trójkąta jak powyżej. Żądane warunki spełnia trójkąt podobny do niego w skali  ma bowiem boki długości

Przeciwległe boki czarnego czworokąta mają długości i oraz i

Rozważmy krawędź o długości  danego czworościanu i zawierające ją ściany. Obróćmy wokół niej jedną z tych ścian tak, aby znalazła się w tej samej płaszczyźnie, co druga, ale po przeciwnej stronie tej krawędzi.

Otrzymujemy w ten sposób fragment siatki danego czworościanu – czworokąt, którego jedną przekątną jest ; oznaczmy drugą przez  W wyjściowym czworościanie odcinek  odpowiada łamanej łączącej końce krawędzi  więc z nierówności trójkąta

Stąd i z nierówności Ptolemeusza,  Analogicznie dowodzimy pozostałych dwóch nierówności trójkąta dla odcinków o długościach

Nierówność Ptolemeusza głosi, iż suma iloczynów długości przeciwległych boków czworokąta jest większa lub równa od iloczynu długości jego przekątnych. Przykłady jej zastosowań opisano w deltoidzie 6/2009.

Oznaczmy wierzchołki czworościanu przez ; z uwagi na przemienność iloczynów  możemy przyjąć, że (Rys. 2). Na półprostych  wybierzmy takie punkty odpowiednio  aby  Punkty  nie są współliniowe, ponieważ rozważane półproste nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Trójkąty  i   są podobne, bo mają wspólny kąt przy wierzchołku  oraz

Wobec tego  czyli

Analogicznie wykazujemy, że  oraz  więc trójkąt  ma boki o żądanych długościach.

Dwa różne rozwiązania teoretyczne tego zadania opisano w deltoidach 6/2009 i 6/2012, przy drugim z nich przedstawiono także inne od powyższego rozwiązanie praktyczne.

Niech  będą takimi punktami odpowiednio na bokach  trójkąta  że  Wówczas trapezy  są równoramienne (bo ich kąty to  i  ). Wobec tego  więc trójkąt  jest zbudowany z odcinków o żądanych długościach.

Niech i będą odpowiednio środkami ramion i Połączmy je odcinkiem. Jest on równoległy do podstawy i zawiera punkt Dlatego więc leży na dwusiecznej kąta Analogicznie leży na dwusiecznej kąta więc przechodzi przez niego także trzecia dwusieczna trójkąta

Wykażemy, że obraz symetryczny  punktu  względem środka ciężkości  danego czworościanu należy do każdej z sześciu rozważanych płaszczyzn. Wystarczy, że udowodnimy, iż punkt  należy do płaszczyzny  przechodzącej przez punkty  i   oraz równoległej do prostej łączącej punkt  ze środkiem krawędzi

Niech  i   będą środkami krawędzi  i   Punkt  jest środkiem odcinka  a więc czworokąt  jest równoległobokiem. Zatem proste  i   są równoległe. Skoro punkt  leży w płaszczyźnie  to prosta  także. To dowodzi, że punkt  należy do płaszczyzny