Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Geometria

Kochajcie trygonometrię, dziewczęta»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Publikacja w Delcie: luty 2020
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (379 KB)

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ zachodzą następujące równości:

AB

Wyznaczyć miary kątów tego pięciokąta.

Wskazówka

Przyjmijmy oznaczenia $x = AB$ $|y = AE$ $z = AC$ oraz $= |φ ?BAC$ $ψ = ?CAE$ Z równości $| cos(ϕ + ψ) = cos ϕcos ψ −sinϕ sinψ$ otrzymamy po przekształceniach

x2 y2 z2 -2-+ -2 +--2 = 5, y z x

analogicznie

x2- z2- y2- z2 + y2 + x2 = 5.

Te równości prowadzą do wniosku, że pewne dwie z liczb $|x,$ $y,$ $z$ są równe, a dzięki założeniu o wypukłości pięciokąta mamy $y = z.$ Dalszą część rozwiązania stanowią proste rachunki na kątach.