Delta mi!

Rozważmy przekształcenie będące złożeniem inwersji o środku i promieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta Przekształcenie to zamienia półproste i oraz prostą z okręgiem W takim razie okrąg przejdzie na okrąg styczny do prostej i półprostych i czyli na okrąg Stąd wniosek, że obrazem punktu jest punkt Półprosta przejdzie więc na półprostą a skoro inwersja zachowuje kąty, to

Jeśli to punkty i pokrywają się i punkty leżą na dwusiecznej Dalej zakładamy, że Wówczas punkty i są różne, zaś proste i nie są równoległe. Rozważmy złożenie inwersji o środku i promieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta Przekształcenie to zamienia półproste i oraz prostą z okręgiem Tak jak w poprzednim zadaniu uzasadniamy, że obrazem okręgu jest okrąg dopisany do trójkąta styczny do boku w punkcie który jest obrazem punktu w tym przekształceniu. Ponieważ jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta to proste i są prostopadłe. W takim razie obrazem punktu jest punkt przecięcia prostej (która jest swoim własnym obrazem) z prostą (która jest obrazem okręgu ). Niech będzie obrazem punktu Wtedy z definicji inwersji mamy

czyli

Z powyższego i z równości (bo inwersja zachowuje kąty) otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. W takim razie Ponieważ to mamy

skąd

Zatem jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta więc jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta W takim razie co wraz z równością (bo ) oznacza, że punkty i leżą na jednym okręgu. To zaś jest równoważne z tym, że punkty są współliniowe.

Niech to połowa obwodu trójkąta to miara kąta zaś to promień okręgu wpisanego w trójkąt Inwersja o środku i promieniu złożona z symetrią względem dwusiecznej kąta przeprowadza okrąg na okrąg dopisany do trójkąta styczny do boku w punkcie a punkty i odpowiednio na punkty i Ponieważ i to

co wraz z równością prowadzi do wniosku, że Z drugiej strony z definicji inwersji mamy

zatem

Przyjmijmy teraz, że prosta przechodząca przez i prostopadła do prostej przecina boki i odpowiednio w punktach i Skoro to odległość punktu od prostej jest równa skąd wniosek, że czyli Analogicznie uzasadnimy, że więc punkt leży na odcinku

Niech i będą spodkami wysokości trójkąta poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków Ponieważ na czworokątach i można opisać okręgi, to

Rozważmy inwersję o środku i promieniu złożoną z symetrią środkową względem punktu Obrazami punktów są zatem punkty Ponieważ

to punkty leżą na jednym okręgu, który w rozważanym przekształceniu przechodzi na prostą Obrazem punktu jest punkt przecięcia prostych i Analogicznie stwierdzamy, że w tym przekształceniu punkt przechodzi na punkt przecięcia prostych i a punkt przechodzi na punkt przecięcia prostych i

Wystarczy udowodnić, że punkty leżą na jednej prostej. Stosując twierdzenie Menelausa dla trójkąta widzimy, że wystarczy wykazać, że

(*)

Wykorzystując wzór na odległość obrazów inwersyjnych, otrzymujemy

Uwzględniając równość widzimy, że

Analogicznie uzasadniamy, że

Mnożąc te trzy równości stronami, dostajemy co kończy rozwiązanie.

Niech Ponieważ więc

W tej sytuacji wtedy i tylko wtedy, gdy Teza wynika zatem z ciągłości funkcji i własności Darboux funkcji ciągłych.

Skorzystamy z następującego lematu: jeśli punkt leży wewnątrz trójkąta i to Aby go udowodnić, zauważmy najpierw, że nie leży na co najmniej jednym z odcinków Bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to Niech będzie punktem przecięcia prostych i Wtedy z nierówności trójkąta:

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Niech będzie środkiem okręgu a będzie promieniem tego okręgu. Punkt leży w co najmniej jednym z trójkątów ; bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to trójkąt Podobnie, leży w którymś z trójkątów ; przyjmijmy, że jest to trójkąt Zgodnie z lematem zachodzi ; i analogicznie: Zatem któryś z odcinków jest mniejszy od i któryś z odcinków jest większy od

Załóżmy, że liczby spełniają Równanie to można sprowadzić do postaci Ponieważ jest liczbą pierwszą, wynika stąd, że lub Pierwsza z tych możliwości oznaczałaby, że co przeczy zależności Musi być zatem skąd ; ponieważ liczby te są całkowite i faktycznie spełniają wymaganą równość.

W każdym wierszu środkowy wyraz jest liczbą nieparzystą (oczywista indukcja); wraz ze skrajnymi jedynkami daje to już trzy liczby nieparzyste w wierszu. Dla kontroli parzystości pozostałych elementów użyjemy modelu algebraicznego. Traktujemy wyrazy -tego wiersza jako kolejne współczynniki wielomianu stopnia Mnożąc ów wielomian przez trójmian otrzymujemy wielomian stopnia którego kolejnymi współczynnikami są wyrazy następnego wiersza tabeli - bo taka jest zasada generowania kolejnych wierszy. Stąd wniosek, że wyrazy -tego wiersza to kolejne współczynniki wielomianu zapisanego w postaci rozwiniętej.

Zauważmy, że jeśli to wyrazy -tego wiersza, poza wspomnianymi trzema, są liczbami parzystymi. Uzasadnienie indukcyjne: tak jest dla ; i jeśli tak jest dla to podnosząc wielomian do kwadratu dostajemy wielomian utworzony przez kwadraty składników wielomianu (ich współczynniki nie zmieniają parzystości) plus liczne podwojone iloczyny, dające współczynniki parzyste.

Ustalmy teraz liczby całkowite oraz przy czym Wykażemy, że w wierszu o numerze na pozycji znajduje się liczba nieparzysta, zaś na pozycji liczba parzysta.

Zapiszmy wielomiany w postaci rozwiniętej:

Współczynnik wyraża się wzorem

Wszystkie liczby w nawiasie są parzyste (jako współczynniki wielomianu z pozycji nie skrajnych ani nie środkowej); liczba jest nieparzysta (środkowy wyraz ). Zatem liczba jest nieparzysta.

Na pozycji widzimy w wielomianie współczynnik

tutaj nieparzyste czynniki mamy tylko dla oraz (środkowy wyraz w ); towarzyszą im czynniki oraz Te dwie liczby są położone w wierszu symetrycznie względem wyrazu środkowego więc są równe.

Z wykazanych własności wynika zarówno teza (a) (którą zresztą można uzyskać wieloma innymi metodami), jak i odpowiedź na pytanie (b): dokładnie trzy liczby nieparzyste są tylko w wierszach o numerach (bowiem gdy nie jest potęgą dwójki, znaleziona liczba nieparzysta leży w wierszu na pozycji więc nie na skraju ani nie na środku).

Niech będzie środkiem boku W okręgu kąt wpisany oparty na cięciwie przystaje do kąta między tą cięciwą a styczną w punkcie : W połączeniu z oczywistą równością daje to podobieństwo trójkątów i więc i proporcję Przy oznaczeniach uzyskana proporcja pokazuje, że Oznaczając dalej dostajemy ciąg zależności

W tym szacowaniu równość zostaje osiągnięta, gdy oraz Nierówność zachodzi więc dla wartości której powiększyć już nie można.