Delta mi!

Rozważana suma ma parzystą liczbę składników. Parujemy: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. Dostajemy sumę par postaci

Wystarczy pokazać, że każda z liczb dzieli się przez W rozwinięciu dwumianowym

składniki odpowiadające indeksom są podzielne przez ; skoro zaś jest liczbą nieparzystą, dwa składniki początkowe dają w sumie

Tak więc dzieli się przez Korzystając jeszcze raz z nieparzystości wnosimy, że dzieli się przez

Ponieważ

zaś zmienna pomocnicza dąży do 0, gdy zatem

Asymptotą ukośną może więc być jedynie prosta o współczynniku kierunkowym ; wystarczy zatem, by następująca różnica miała skończoną granicę (przy czyli ):

Gdy pierwszy z ilorazów (w ostatnim uzyskanym wyrażeniu) dąży do granicy 1/2 (bo ). Stąd wniosek, że asymptotą (przy ) jest prosta o równaniu

Skoro oraz to istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem i do względem ; nazwijmy go Skoro oraz to lewa strona dowodzonej równości przybiera postać

Podobnie istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem oraz do względem i podobnie prawą stronę dowodzonej równości można przepisać jako Do zakończenia rozwiązania wystarczy zauważyć, że trójkąty oraz są przystające (cecha bok-bok-bok).

Skoro oraz to istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem i do względem ; nazwijmy go Trójkąt ma boki o długościach a jego kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę

Podobnie istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem oraz do względem Trójkąt jest przystający do trójkąta a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę Pozostaje zauważyć, że

skąd Teza zadania wynika więc z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do dowolnego z tych dwóch trójkątów.

Wykażemy, że każda dodatnia liczba całkowita mogła zostać uzyskana (poprzez ciąg kilku kolejnych dopisywań) z pewnej mniejszej liczby. Stąd dostaniemy odpowiedź twierdzącą na postawione w zadaniu pytanie.

Liczbę dającą resztę z dzielenia przez powiedzmy można uzyskać w jednym kroku z liczby Liczba dająca resztę z dzielenia przez powiedzmy może zostać uzyskana w dwóch krokach z liczby : w pierwszym kroku dopisujemy liczbę Wreszcie liczba podzielna przez powiedzmy może zostać uzyskana w siedmiu krokach z liczby : w kolejnych pośrednich krokach dopisujemy

Odpowiedź: oraz
Spośród ośmiu rozważanych sum największa jest z jednej strony nie mniejsza od a z drugiej - nie większa od Stąd wniosek, że Ponadto suma ośmiu rozważanych sum jest równa dwukrotności sumy wszystkich liczb wpisanych w pola tablicy, czyli Liczba jest dzielnikiem tej sumy, wobec czego lub Poniższy przykład pozwala stwierdzić, że te wartości w istocie są osiągalne.

Oznaczmy przez wspólną wartość sumy elementów w obydwu podzbiorach. Wówczas

czyli

Gdyby pewien z rozważanych podzbiorów miał elementów, to jego suma elementów byłaby nie mniejsza od

Uzyskana sprzeczność kończy rozwiązanie zadania.

Odpowiedź: Wszystkie nieparzyste liczby

Z warunków zadania wynika, że każda świeczka wypala się po całkowitej liczbie godzin, powiedzmy Wówczas łączny czas (w godzinach) płonięcia wszystkich świeczek to z jednej strony a z drugiej

skąd i w konsekwencji, aby opisana sytuacja mogła mieć miejsce, musi być liczbą nieparzystą.

Z drugiej strony dla każdej nieparzystej liczby powiedzmy gdzie jest liczbą całkowitą nieujemną, można tak zaplanować, które świeczki będą zapalane danego dnia, aby warunki zadania zostały spełnione. Przykładowo, jeśli ponumerujemy świeczki od do to możemy

• dla : -tego dnia zapalić wszystkie świeczki o numerach od do ;
• dla : -tego dnia zapalić wszystkie świeczki o numerach od do

Niech punkty będą rzutami prostokątnymi punktów na prostą Trójkąt prostokątny jest przystający do trójkąta ; analogicznie, trójkąt przystaje do Zatem Z ostatniej równości wynika, że środek odcinka jest też środkiem odcinka i wobec tego

Prosta przecina odcinki i w punktach, które nazwiemy odpowiednio i Z proporcji

wyznaczamy

Skoro zaś zatem i w takim razie To oznacza, że a prosta to prosta prostopadła (z definicji) do

Podstawmy, kolejno, oraz ; otrzymujemy równania

oraz

które po dodaniu stronami i redukcji dają związek Zatem dla każdej liczby ma miejsce alternatywa: lub Stąd, w szczególności,

Jeśli jest jedynym miejscem zerowym funkcji to dla wszystkich Łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia zadane równanie. Pozostaje przypadek, gdy ma jeszcze jakieś miejsce zerowe Wykażemy, że wówczas jest tożsamościowo równa zeru.

Przypuśćmy, że dla pewnego Biorąc w zadanym równaniu dostajemy ; ta liczba nie jest zerem, więc z wcześniejszej alternatywy wynika, że wynosi ona jednocześnie oraz Przyrównanie tych wartości daje równość To liczba dodatnia; stąd w przedziale Weźmy teraz dowolną liczbę i w wyjściowym równaniu podstawmy (już wiemy, że ). Wychodzi Tak więc także w przedziale

Wniosek (odpowiedź): jedynymi funkcjami spełniającymi podane równanie są: (dla wszystkich ) oraz (dla wszystkich ).