Nagrody Abela w roku 2020
Za co Hillel Furstenberg (Uniwersytet Hebrajski w Jerozolimie) oraz Gregory Margulis (Uniwersytet Yale w New Haven) otrzymali tegoroczną nagrodę?

Hillel Furstenberg

Gregory Margulis
Badania naukowe tegorocznych laureatów Nagrody Abela koncentrują się na głębokich zastosowaniach teorii ergodycznej w różnych zagadnieniach dotyczących teorii liczb, geometrii, aproksymacji czy kombinatoryki. Teoria ergodyczna, która jest częścią szerszej teorii układów dynamicznych, wyrosła około 100 lat temu z zagadnień czysto fizycznych. W teorii tej zajmujemy się przestrzeniami probabilistycznymi gdzie
jest prawdopodobieństwem zdarzenia
Zazwyczaj
jest określone tylko dla pewnej rodziny podzbiorów zbioru
zwanych zbiorami mierzalnymi. Na
mamy dodatkowo określone przekształcenie
zachowujące prawdopodobieństwo
tzn.
dla podzbiorów mierzalnych
Przekształcenie
mówi nam, jak przebiega ewolucja punktów
w czasie:
![]() |
zachowywanie prawdopodobieństwa zaś to pewne "prawo fizyczne" - ewolucja w naszym układzie dynamicznym odbywa się z zachowaniem "objętości", tzn. z zachowaniem prawdopodobieństwa
Popatrzmy na bardzo prosty przykład układu dynamicznego. Niech
będzie okręgiem jednostkowym, tzn. niech
zaś prawdopodobieństwem wyznaczonym przez żądanie, aby dla każdego łuku
(gdzie przez
oznaczyliśmy długość łuku) i niech
gdzie
(
jest obrotem o kąt
). Ten przykład jest charakterystyczny dla sytuacji, w której mamy dodatkową strukturę przestrzeni
tzn. mamy zadane "dobre" przekształcenie
"dobrej" przestrzeni
i próbujemy opisać wszystkie możliwe prawdopodobieństwa niezmiennicze (w przykładzie powyżej można pokazać, że wskazane przez nas prawdopodobieństwo jest jedynym prawdopodobieństwem niezmienniczym, gdy
jest liczbą niewymierną). Natomiast sama teoria ergodyczna bada rozmieszczenie ( "geometrię") orbit punktów w przestrzeni, tzn. zbiorów
interesuje się własnościami "mieszającymi" (co jest wstępem do badania chaosu w układzie). Możemy np. pytać, czy
a dokładniej - pytać, czy z prawdopodobieństwem 1 orbita punktu
trafi do ustalonego zbioru
takiego że
(mówimy wtedy, że
jest przekształceniem ergodycznym). W powyższym przykładzie przekształcenie
jest ergodyczne wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą niewymierną. Możemy sprawdzać warunek mieszania dla podzbiorów mierzalnych
:
![]() |
(a więc intuicyjnie zbiór po pewnym czasie rozmazuje się po całej przestrzeni, przy czym jest on w każdym zbiorze
proporcjonalnie do swojej miary). Ergodyczność i mieszanie to przykłady własności, które dla pewnych układów zachodzą, a dla innych nie zachodzą. Ale są też własności (dodajmy nieoczywiste), które zachodzą w każdym układzie dynamicznym. Dla przykładu w każdym układzie dynamicznym
dla dowolnego zbioru mierzalnego
prawie każdy punkt
powróci do zbioru
nieskończenie wiele razy (ten fakt, zwany twierdzeniem o powracaniu, został odkryty przez Poincarégo jeszcze w XIX wieku). Znacznie głębsze jest słynne twierdzenie ergodyczne Birkhoffa (sprzed 90 lat), które mówi nam, że typowe punkty (tzn. punkty z pewnego zbioru o prawdopodobieństwie 1) "chodzą" po przestrzeni regularnie w tym sensie, że jeśli weźmiemy jakikolwiek "pomiar" na naszej przestrzeni (wyrażany przez funkcję
powiedzmy "mierzalną" i ograniczoną), to średnie
mają granicę, gdy
A gdy układ
jest dodatkowo ergodyczny, to granica ta będzie równa "średniej" funkcji
po całej przestrzeni (tzn. otrzymamy całkę funkcji
względem prawdopodobieństwa
).

Powyżej mówiliśmy o sytuacji, w której mamy do czynienia z jednym przekształceniem (choć właściwie rozpatrujemy zbiór
), ale można sobie wyobrażać, że na
działa rodzina przekształceń
gdzie
ma jakąś dodatkową strukturę. Dla przykładu możemy myśleć, że
jest pewną rodziną macierzy o wyznaczniku różnym od zera, zamkniętą ze względu na mnożenie i branie elementu odwrotnego - jest to więc szczególny przypadek struktury, którą w matematyce nazywa się grupą. Wtedy rodzina
jest pewną reprezentacją grupy
w zbiorze układów dynamicznych przestrzeni
(zakładamy zachowywanie struktur, tzn. zakładamy, że
dla
). I znowu możemy zadawać różne ciekawe pytania ergodyczne, których próbkę widzieliśmy powyżej, gdy "czas"
był równy
Czy taka abstrakcyjna teoria, która przecież musiała wypracować trudne metody, aby dowodzić w miarę ogólnych twierdzeń, może mieć cokolwiek wspólnego z bardziej "przyziemnymi" problemami matematyki? Okazuje się, że tak. Geniusz Hillela Furstenberga polegał m.in. na tym, że zaproponował on już w latach 70. XX wieku dalsze rozwijanie teorii ergodycznej w duchu twierdzeń dotyczących wielokrotnego powracania czy też zbieżności niekonwencjonalnych średnich ergodycznych. Widział on, że - może nieco wbrew swoim "fizycznym" korzeniom - twierdzenia teorii ergodycznej dają się interpretować jako twierdzenia o kombinatorycznych własnościach podzbiorów zbioru "czasów", w szczególności podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Furstenberg udowodnił na przykład, że dla dowolnego układu dynamicznego
dowolnej liczby naturalnej
i dowolnego zbioru
mamy
![]() |
(*) |
dla nieskończenie wielu Udowodnił on również, że powyższe twierdzenie jest równoważne pewnemu twierdzeniu opisującemu kombinatoryczne własności "dużych" podzbiorów liczb naturalnych. Zanim jednak przedstawimy jego pełne sformułowanie, potrzebujemy następującej definicji:

Definicja 1 (górnej dodatniej gęstości Banacha). Powiemy, że zbiór ma własność GGBD, jeśli istnieje stała
oraz dwa ciągi liczbowe
i
które mają (dla każdego naturalnego
) następujące własności:
i

A oto i samo twierdzenie:
Twierdzenie. Jeśli ma własność GGBD, to zbiór
zawiera postępy arytmetyczne dowolnej długości. Tzn. dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje takie
oraz
że
W pewnym sensie widać, że zbiór nie może być "dowolny", jakaś struktura całego zbioru liczb naturalnych w nim pozostała. Można spostrzec, że gdy
gdzie zbiory
są parami rozłączne, to któryś z tych zbiorów musi mieć własność GGBD, a więc w którymś ze zbiorów
musiała "przeżyć" struktura zbioru
Może jeszcze tytułem ciekawostki dodajmy, że aby udowodnić powyższe twierdzenie, udowodnione wcześniej przez matematyka węgierskiego Endre Szemerédiego (laureata Nagrody Abela w roku 2012) metodami czysto kombinatorycznymi, w (??) potrzebujemy "jedynie", żeby przekroje
były niepuste. Tak to już jednak bywa, że aby wykazać niepustość zbioru, tzn. istnienie "dobrej" konfiguracji bez wskazywania konkretnej konfiguracji, trzeba rozwinąć ogromną teorię wskazującą na powód niepustości.
Gdy chcemy dowodzić bardziej specyficznych własności teorioliczbowych czy też kombinatorycznych, często możemy zawęzić klasę układów dynamicznych, których pewne własności ergodyczne (o ile uda nam się je udowodnić) mają ciekawe i może bardziej intuicyjne implikacje. Niezwykle owocną rolę odgrywają tu tzw. układy dynamiczne pochodzenia algebraicznego, które są określone na pewnych strukturach ilorazowych grup macierzowych, a reprezentacja grupy pochodzi od "obrotów" wyznaczonych przez mnożenie macierzy (obroty niewymierne są tu bardzo prostym, bo jednowymiarowym, przykładem takich działań). Zilustrujmy to podejście słynną hipotezą Oppenheima o formach kwadratowych sprzed 90 lat, której prawdziwość udowodnił Gregory Margulis (laureat medalu Fieldsa z 1978 roku). Tytułem wprowadzenia popatrzmy na przypadek form zależących od dwóch zmiennych
Otóż można spostrzec, że wzór
gdzie
jest złotą proporcją, tzn.
definiuje funkcję
o następujących własnościach: (i)
jest formą kwadratową, (ii)
przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne (
nie jest ani dodatnio ani ujemnie określona), a ponadto (iii)
nie jest proporcjonalna do formy o współczynnikach wymiernych. Jeśli teraz
są liczbami całkowitymi, to (wobec
)
![]() |
gdyż złota liczba jest źle aproksymowalna liczbami wymiernymi: dla pewnej stałej
i dowolnych
! Zatem wartości formy
przyjmowane na argumentach całkowitych
są odgraniczone od zera. Słynna hipoteza Oppenheima stanowiła, że jeśli użyjemy więcej zmiennych niż dwie, np. rozpatrując
spełniające własności (i)-(iii) podane powyżej, to takiego odgraniczenia od zera nie możemy uzyskać. Jakie tutaj układy dynamiczne będą odpowiadały za rozwiązanie problemu? Dowód Margulisa polegał na studiowaniu orbit grupy przekształceń zachowujących formę i klasyfikacji miar niezmienniczych, które możemy uzyskać na domknięciu orbit w tzw. przestrzeni jednorodnej odpowiedniej grupy macierzy o wyznaczniku 1.
Wybitne osiągnięcia tegorocznych laureatów nagrody Abela (i ich uczniów) pokazują, jak nowe, często zaskakujące, idee prowadzą do przełomowych odkryć stanowiących o postępie w nauce.