Odpowiedź (na obydwa pytania):

Oznaczmy przez odpowiedzi na pytania zadane, odpowiednio, w punktach (a) i (b). Bezpośrednio sprawdzamy, że Przyjmijmy dalej, że

W części (a) zauważmy, że w pierwszym przejeździe z prawdopodobieństwem Piotrek od razu zjedzie na parter oraz dla z prawdopodobieństwem znajdzie się na piętrze a zatem w sytuacji, w której średni numer ostatniego piętra, które odwiedzi przed parterem, jest równy Wobec tego

Podobnie w części (b) z prawdopodobieństwem Piotrek zjedzie na parter od razu oraz dla z prawdopodobieństwem znajdzie się w sytuacji, w której oczekiwana liczba dalszych przejazdów jest równa czyli

Nietrudno zauważyć, że wyprowadzone rekurencyjne wzory na oraz są w istocie jednakowe, a zatem Pozostaje rozwiązać tę rekurencję.

Korzystając z wyprowadzonej zależności dla uzyskujemy

skąd po podstawieniu do rekurencji dla mamy

Stąd wobec wynika, że

Uwaga. Czytelnik Oblatany zauważy z pewnością, że wynik, czyli -ta suma częściowa szeregu harmonicznego, jest oczekiwaną liczbą cykli w rozkładzie losowej permutacji zbioru -elementowego. Jeśli ponadto ów Czytelnik należy do zbioru Czytelników Ambitnych, polecamy Mu znalezienie kombinatorycznego uzasadnienia tego związku.