Delta mi!

Na bokach trójkąta na zewnątrz niego, zbudowano trójkąty równoboczne i Środkami tych trójkątów są odpowiednio punkty i Dowieść, że trójkąt jest równoboczny (twierdzenie Napoleona).

Dany jest trapez o podstawach i w którym Na boku tego trapezu leży taki punkt że Wykazać, że

Punkt leży wewnątrz sześciokąta foremnego Udowodnić, że suma pól trójkątów i jest równa sumie pól trójkątów i

W czworokącie wypukłym mamy Wykazać, że

W czworościanie wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku mają miarę Wykazać, że

Dany jest trójkąt w którym Punkt jest środkiem boku Na odcinkach i wybrano odpowiednio takie punkty i że Wykazać, że

W trójkącie mamy Punkty i leżą na bokach odpowiednio i przy czym proste i są dwusiecznymi kątów trójkąta Udowodnić, że

Trójkąt w którym jest podstawą ostrosłupa Ponadto zachodzą równości oraz Udowodnić, że

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego wybrano taki punkt dla którego wartość wyrażenia jest najmniejsza (punkt Fermata-Torricellego). Wykazać, że

Dana jest liczba całkowita Każdy bok i każdą przekątną -kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z kolorów w taki sposób, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego -kąta. Wykazać, że jest liczbą nieparzystą.

Dana jest liczba nieparzysta Każdy bok i każdą przekątną -kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z kolorów w taki sposób, że dwa odcinki mają ten sam kolor dokładnie wtedy, gdy są równoległe. Wykazać, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego -kąta.

Dany jest wielomian o współczynnikach całkowitych oraz względnie pierwsze dodatnie liczby całkowite i Udowodnić, że jeśli oraz to

Czy w wyrażeniu można zamienić niektóre znaki " " na " " w ten sposób, by wynik był równy

Na tablicy napisano trzycyfrowych liczb pierwszych. Możemy zmazać dwie zapisane na tablicy liczby i zamiast nich zapisać wartość bezwzględną ich różnicy. Postępujemy tak aż do momentu, gdy na tablicy pozostanie jedna liczba. Czy tą liczbą może być

W kręgu stoi drzew, na każdym siedzi jeden wróbel. Wróble przelatują czasem na inne drzewa, ale zgodnie z regułą: dwa wróble lecą jednocześnie, każdy na drzewo sąsiadujące z tym, na którym siedział, jeden zgodnie, a drugi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Czy jest możliwe, aby w pewnej chwili wszystkie wróble siedziały na tym samym drzewie?

Jedno dziecko ma cukierków, drugie a trzecie Każde z nich może w dowolnej chwili dać po jednym swoim cukierku pozostałej dwójce. Czy dzieląc się w ten sposób, dzieci mogą doprowadzić do tego, by każde z nich miało cukierków?

Pionki stoją w punktach i reguły postępowania takie jak w poprzednim zadaniu. Rozstrzygnąć, czy możliwe jest ustawienie pionków w wierzchołkach trójkąta, we wnętrzu którego znajduje się punkt o obu współrzędnych całkowitych.

W punktach i stoją pionki. Dozwolony ruch polega na wyborze dwóch pionków, a następnie przestawieniu jednego z nich na punkt płaszczyzny symetryczny względem punktu zajmowanego przez drugi pionek. Czy jest możliwe, aby po pewnej liczbie ruchów dwa pionki stanęły w tym samym miejscu?

Na każdym polu szachownicy stoi pionek. Jeżeli na pierwszym i trzecim z trzech kolejnych pól leżących w jednym wierszu, kolumnie lub diagonali stoi co najmniej jeden pionek, to możemy wziąć z nich po jednym pionku i przełożyć na drugie z tych pól. Rozstrzygnąć, czy można, wykonując takie ruchy, przełożyć wszystkie pionki na jedno pole.

Na polu A1 szachownicy napisano liczbę 1, na A8 napisano -1, a na pozostałych polach 0. Możemy wielokrotnie wykonywać następującą operację: wybieramy dowolne pole i zmniejszamy napisaną na nim liczbę o liczbę pól sąsiednich (mających wspólny bok), zaś każdą z liczb napisanych na polach sąsiednich zwiększamy o 1. Rozstrzygnąć, czy można doprowadzić do stanu, w którym na wszystkich polach szachownicy napisana jest liczba 0.

Płaszczyznę podzielono na trójkąty równoboczne w ten sposób, że w każdym wierzchołku (węźle) spotyka się sześć trójkątów. W każdym węźle znajduje się lampka, natomiast na każdym trójkącie jest włącznik, który zmienia stan lampek (świeci albo nie świeci) znajdujących się w węzłach będących wierzchołkami tego trójkąta. Rozstrzygnąć, czy zaczynając od sytuacji, w której świeci się dokładnie jedna lampka, możemy doprowadzić do zgaszenia wszystkich lampek.

Dana jest triangulacja pewnego -kąta. Wykazać, że jego wierzchołki można tak pokolorować trzema kolorami, aby każde dwa punkty połączone bokiem lub jedną z narysowanych przekątnych miały różny kolor.

Dana jest triangulacja pewnego -kąta o tej własności, że w każdym wierzchołku tego trójkąta schodzi się nieparzysta liczba trójkątów tej triangulacji. Wykazać, że jest liczbą podzielną przez 3.

Dana jest triangulacja pewnego -kąta, przy czym Na czarno malujemy wszystkie trójkąty tej triangulacji, których dokładnie jeden bok jest przekątną danego -kąta, a na biało - wszystkie trójkąty tej triangulacji, których wszystkie trzy boki są przekątnymi danego -kąta. Wykazać, że liczba czarnych trójkątów jest o większa od liczby białych trójkątów.

Każdą liczbę naturalną pomalowano pewnym kolorem w taki sposób, że jeśli są liczbami naturalnymi, to liczby i mają ten sam kolor. Dowieść, że wszystkie liczby naturalne większe od mają ten sam kolor.

Niech będzie liczbą naturalną. Udowodnić przez indukcję, że:
(a) dla (b)

Udowodnić nierówność Bernoulliego: dla wszystkich liczb rzeczywistych i liczb naturalnych

Wiadomo, że oraz dla Wykazać, że dla wszystkich naturalnych

Dowieść, że różnych okręgów dzieli płaszczyznę na co najwyżej obszarów.

Nazwijmy L-ką figurę złożoną z trzech kwadratów jednostkowych, w kształcie litery L. Niech będzie liczbą naturalną. Udowodnić, że szachownicę o wymiarach z jednym usuniętym polem można rozciąć na L-ki.