Zadanie ZM-1579
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: październik 2018
- Publikacja elektroniczna: 1 października 2018
Zadanie 768 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Znaleźć wszystkie trójki liczb naturalnych spełniające równanie
![]() |
Kwadrat o boku długości będącej liczbą naturalną, został podzielony prostymi poziomymi i pionowymi na
kwadracików jednostkowych. Powstała siatka, utworzona z
odcinków jednostkowych (boków tych kwadracików). Używając czterech barw, należy te odcinki pokolorować (każdy odcinek jednym kolorem) tak, żeby każdy kwadracik jednostkowy miał boki różnych kolorów oraz by każdy bok dużego kwadratu uzyskał jednolity kolor - ale każdy inny. Dla jakich liczb naturalnych
jest to wykonalne?
Jak wygrać (lub zremisować) w szachy z arcymistrzem, nawet nie umiejąc grać?
Znajdź dowolną trójkę dodatnich liczb całkowitych spełniających równanie
Czy istnieją takie liczby niewymierne dla których liczba
jest wymierna?
Jeśli szerokość pewnego prostokąta powiększyć o 50%, to jego szerokość powiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość tego prostokąta, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?
Za pojedynczą drogę uważamy całą prostą, np. droga pozioma łączy cztery miasta.
Planszą do gry w Jam jest mapa pewnego kraju, w którym jest 8 miast i 9 prostych dróg przez nie. Dwaj gracze na przemian malują, każdy swoim kolorem, po jednej całej drodze. Wygrywa ten, kto pierwszy pomaluje swoim kolorem wszystkie drogi przez któreś miasto. Jak grać, żeby wygrać?
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku
podzielony na
trójkątów równobocznych o boku
Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych
trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę równoległoboków o wierzchołkach w węzłach, których dwa boki są równoległe do a dwa do
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku
podzielony na
trójkątów równobocznych o boku
Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych
trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę trójkątów równobocznych o wierzchołkach w węzłach (ale bokach niekoniecznie równoległych do boków ).
Mając daną siatkę czworościanu, skonstruować punkty styczności sfery wpisanej w ten czworościan do jego ścian.
Zadanie 766 zaproponował pan Piotr Kumor z Olsztyna.
Znaleźć liczbę rzeczywistą taką, że dla dowolnych liczb dodatnich
zachodzi nierówność
![]() |
Im większa liczba tym lepsze rozwiązanie.
Czworokąt jest wpisany w okrąg. Jego najmniejszy kąt wewnętrzny ma wierzchołek
Zakładamy, że proste
i
przecinają się w punkcie
zaś proste
i
przecinają się w punkcie
przy czym
Niech
będzie środkiem przekątnej
Wykazać, że
Na okręgu umieszczono 101 dodatnich liczb całkowitych o sumie równej 300. Wykaż, że istnieje taki łuk okręgu, na którym suma liczb równa jest 200.
Wykaż, że wśród dowolnych 1111 parami różnych podzbiorów zbioru 11-elementowego zawsze znajdą się dwa rozłączne.
Udowodnij, że w dowolnym ciągu 2018 liczb całkowitych zawsze można wskazać pewną liczbę kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez 2018.
Podczas defilady żołnierze mają być ustawieni w prostokąt, przy czym w każdej kolumnie i w każdym rzędzie mają stać od najwyższego do najniższego (żadni dwaj z nich nie są równego wzrostu). Dowódca ustawia ich w prostokącie jakkolwiek, po czym porządkuje według wzrostu w każdej kolumnie osobno, następnie zaś w każdym rzędzie (psując być może porządek w kolumnach), potem, jeśli trzeba, znów w kolumnach, znowu w rzędach etc. Czy ten sposób działania ma sens, tzn. czy niezależnie od początkowego ustawienia żołnierzy ta procedura zawsze po skończenie wielu takich przestawieniach da żądany efekt? A jeśli tak, to po ilu?
W szeregu stoi, w przypadkowej kolejności, 50 żołnierzy. Żadnych dwóch nie jest tego samego wzrostu. Wykaż, że można wybrać ośmiu z nich tak, aby, gdy wystąpią oni krok naprzód, byli ustawieni według wzrostu (rosnąco lub malejąco).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej istnieje taka liczba całkowita
że liczbę
można zapisać w systemie dziesiętnym używając wyłącznie cyfr 0 i 1.
Płytką nazwiemy pokazaną na rysunku figurę złożoną z czterech sześciokątów foremnych o boku oraz dowolną figurę otrzymaną z niej przez obrót lub symetrię. Z kolei
-trójkątem nazwiemy trójkątny układ tworzony przez
sześciokątów foremnych o boku
(na rysunku pokazano
-trójkąt). Znaleźć wszystkie dodatnie liczby całkowite
o tej własności, że z pewnej liczby płytek można ułożyć
-trójkąt.
Dodatnią liczbę całkowitą nazwiemy podkwadratową, jeżeli
jest kwadratem liczby całkowitej. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele par liczb podkwadratowych o tej własności, że ich suma oraz iloczyn także są podkwadratowe.
Wewnątrz kwadratu jednostkowego znajduje się wielokąt wypukły
o polu większym od
Wykazać, że wewnątrz wielokąta
można wskazać odcinek o długości
równoległy do boku kwadratu
Wykaż, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.
Wykaż, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.
Punkt należy do wnętrza trójkąta
oraz
Wykaż, że
jest środkiem ciężkości trójkąta
Dany jest równoległobok Punkty
i
są środkami boków
i
Proste
i
przecinają przekątną
odpowiednio w punktach
i
Wykaż, że
oraz że
Wykaż, że ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt.