Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze, Podzielność
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

ZM-20.11-KPO-3»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
Wykładniki $|p$ -adyczne
Publikacja w Delcie: listopad 2020
Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (477 KB)

Liczby $a,b ≠ 0$ oraz $2 2 |ba + ab$ są całkowite. Wykazać, że liczby $2 |ba-$ i $2 |ab-$ też są całkowite.

Oznaczenia

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach $|p$ jest pewną liczbą pierwszą oraz

α= νp(a), β =νp(b), γ =νp(c).

Wskazówka

Zachodzi podzielność $3 3 |ab a + b ,$ z której wnioskujemy, że $|α+ β ⩽ νp(a3 + b3).$ Rozważając osobno przypadki $α = β$ i $|α ≠β ,$ korzystając z własności (2) i (3), wykazać nierówności $α ⩽ 2β$ i $β ⩽2 α.$ Dowód kończy zastosowanie (5).