Kącik początkującego olimpijczyka
Lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego
O zależnościach między i
W poprzednim kąciku omówiłem wykładnik -adyczny
i jego podstawowe własności - zachęcam Czytelnika, aby się z nimi zapoznał przed przystąpieniem do lektury.
Weźmy dwie liczby całkowite i
Niech
będzie liczbą pierwszą oraz
ale
Możemy wówczas zapisać
dla pewnego całkowitego
Zachodzi równość
![]() |
Zauważmy, że natomiast pozostałe składniki ostatniej sumy mają większe wykładniki
-adyczne. Na mocy własności (2') z poprzedniego kącika wynika z tego, że
Niech teraz Interesują nas liczby nieparzyste
i
Zachodzi równość
ale równość
ma miejsce tylko wtedy, gdy
Trzymając się wciąż powyższych założeń, wybierzmy liczbę naturalną która nie jest podzielna przez
Wtedy
![]() |
więc w tym przypadku
Stosując indukcję oraz powyższe rozważania, wykazujemy tytułowy lemat.
Lemat (o zwiększaniu wykładnika -adycznego (wersja z odejmowaniem)). Niech
i
będą całkowite,
- naturalne,
- pierwsze. Wówczas:
- (1)
- jeśli
oraz
to
;
- (2)
- dla nieparzystych
i
:
- (a)
- jeśli
to
;
- (b)
dla
nieparzystych;
- (c)
dla
parzystych.
Dla nieparzystego zachodzi równość
Pisząc
zamiast
otrzymamy analogiczny lemat dla dodawania.
Lemat (o zwiększaniu wykładnika -adycznego (wersja z dodawaniem)). Niech
i
będą całkowite,
- naturalne nieparzyste,
- pierwsze. Jeśli
oraz
to
W zadaniach dość powszechne jest stosowanie nierówności która być może jest oczywista, ale warto tu o niej wspomnieć.