Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze, Podzielność
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

ZM-20.11-KPO-4»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu
Wykładniki $|p$ -adyczne
Publikacja w Delcie: listopad 2020
Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (477 KB)

Liczby $a,b,c ≠ 0$ oraz $|ab + bc + ca$ są całkowite. Dowieść, że $abc$ jest sześcianem liczby całkowitej.

Oznaczenia

Uwaga. O ile nie napisano inaczej, we wszystkich wskazówkach $|p$ jest pewną liczbą pierwszą oraz

α= νp(a), β =νp(b), γ =νp(c).

Wskazówka

Zachodzi podzielność $2 2 2 |abc a c+ b a +c b,$ którą należy przełożyć na nierówności z udziałem $α,β$ i $γ.$ Rozważyć dwa przypadki: liczby $2α + γ,2β + α,2γ +β$ są różne, lub pewne dwie z nich są równe. Pierwszy przypadek w połączeniu z własnościami (2') i (5) prowadzi do sprzeczności, drugi do równości $α + β = 2γ$ lub analogicznej - wówczas $|3 νp(abc).$