Delta mi!

Od najmłodszych lat każdy z nas poznaje świat liczb, zliczając zabawki, jabłka czy książki. Nikogo nie dziwi zatem przedstawienie liczby 5 jako pięciu kulek. Tylko czy takie przedstawienie może pomóc w odkrywaniu świata komuś, kto ukończył już przedszkole? Okazuje się, że tak – wystarczy uważne spojrzenie i wyobraźnia, a może nam przynieść nieoczekiwane spostrzeżenia.

Przecięcie stożka płaszczyzną  nieprzechodzącą przez wierzchołek to stożkowa...

Sfery, o których jest mowa na sąsiedniej stronie, nazywane są sferami Dandelina na cześć francuskiego matematyka Germinala Pierra Dandelina (1794–1847), który badając stożkowe, rozwinął pomysły Apoloniusza z Pergi (III w. p.n.e.).

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

W wielu zadaniach geometrycznych należy wykazać, że z pewnych trzech odcinków można zbudować trójkąt. Rozwiązania są zazwyczaj jednego z dwóch rodzajów...

Każdy wie, co to są dwusieczne kątów – tutaj będziemy mówili o trójsiecznych, czyli prostych dzielących kąt (i jego kąt wierzchołkowy) na trzy równe częsci. Zatem trójsieczne są dwie. Mają one dziwną własność zwaną twierdzeniem Morleya.

Przedstawimy tu dwa zagadnienia, w których pojawia się problem znajdowania najliczniejszego skojarzenia w grafie dwudzielnym, jednak trochę ukryty.

Cztery parametry. Tym, co najczęściej robi się w grafach dwudzielnych, jest znajdowanie najliczniejszego skojarzenia. Można jednak rozważać aż cztery – parami dualne – parametry powiązane z najliczniejszym skojarzeniem...

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

Zawód matematyka ma wiele zalet...

Udowodnimy kilka ewidentnych bzdur, na przykład istnienie okręgu o dwóch środkach czy równość  Zachęcam Czytelników do samodzielnego odszukania błędów w tych dowodach przed lekturą zamieszczonych na końcu wyjaśnień.

We współczesnym świecie komputery mają coraz większy wpływ zarówno na sposób uprawiania matematyki, jak i na samą matematykę. Wielu ważnych problemów, zarówno czysto teoretycznych, jak i pochodzących z zastosowań, nie można rozwiązać bez pomocy odpowiednich programów. Umiejętność posługiwania się komputerem w obliczeniach numerycznych i symbolicznych należy dziś do podstawowego wykształcenia matematyka.

W tym kąciku przyjrzymy się metodom rozwiązywania zadań o przecinaniu się płaszczyzn. Jedną z nich jest wskazanie punktu przecięcia i udowodnienie, że należy do każdej z rozważanych płaszczyzn.

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego.

Rozwiązania zadań powinny zostać wysłane najpóźniej dnia 21 października 2013 r. na adres właściwego Komitetu Okręgowego OMG. Dokładne adresy Komitetów oraz szczegółowe informacje dotyczące sposobu zapisu rozwiązań dostępne są na stronie internetowej Olimpiady: www.omg.edu.pl.

Zacznijmy od prostego przykładu. Pchła skacze między ziemią, kotem i człowiekiem. Za każdym razem wybiera miejsce docelowe z takim samym prawdopodobieństwem (równym ). Mogłaby tak skakać w nieskończoność, gdyby nie to, że po wskoczeniu na człowieka ginie. Ile średnio skoków pchła wykona przed śmiercią, jeżeli zaczyna na ziemi?

Czworościan to ostrosłup. Wybieramy jedną ścianę – „podstawę”; trzy ściany „boczne” odchylamy na zewnątrz, jakby były na zawiasach. Gdy się ułożą w płaszczyźnie podstawy, uzyskamy układ czterech trójkątów – płaską siatkę czworościanu; może ona ułatwić (lub utrudnić) jego wizualizację...

W LXIV Olimpiadzie Matematycznej wzięło udział 1464 uczniów. Do zawodów drugiego stopnia zakwalifikowano 572 osoby, a do finału zorganizowanego przez I Liceum Ogólnokształcące im. Józefa Bema w Ostrołęce, obchodzące stulecie swego istnienia, zaproszono 121 młodych ludzi. Wszystkie zadania wraz z rozwiązaniami są dostępne na stronie internetowej Olimpiady: www.om.edu.pl. W pierwszym stopniu najtrudniejsze było zadanie ósme, ale i tak rozwiązało je poprawnie ponad 125 osób. Nie było więc zadania bardzo trudnego, bo takie są rozwiązywane jedynie przez kilka osób w kraju.

Rozwiąż równanie! – to jedno z najczęściej słyszanych przez ucznia poleceń nauczyciela matematyki. Gdy usłyszymy to polecenie, nie wątpimy, że otrzymane równanie można rozwiązać i że my potrafimy to zrobić. Zresztą o każdym zadaniu matematycznym, na które natrafimy, uważamy, że można je rozwiązać. Jeśli nie widzimy rozwiązania od razu, to pewnie trzeba jeszcze trochę pomyśleć, pokombinować, wynaleźć jakiś sprytny sposób, może poczytać w mądrych książkach i rozwiązanie musi się znaleźć. Czy na pewno tak jest? Okazuje się, że istnieją zadania, niedające się rozwiązać, choć są łudząco podobne do innych, które rozwiązujemy bez trudu.

Ile wierzchołków, krawędzi, ścian dwuwymiarowych, trójwymiarowych etc. ma -wymiarowy sześcian?

Dwunastościan wielki jest jednym z czterech niewypukłych wielościanów foremnych. Jego ścianami są przenikające się pięciokąty foremne (pentagony). Oczywiście, jest ich dwanaście. I w tym przypadku jest w miarę prosty sposób rysowania.

W Delcie była już mowa o ruchomych wielościanach, nazywanych też fleksorami; artykuły o nich ukazały się w 1987 i 1997 roku. Ruchomość wielościanu polega na tym, że gdybyśmy zbudowali model o sztywnych ścianach, a krawędziach poruszających się jak zawiasy, to moglibyśmy nim poruszać bez odkształcania ścian. Choć wydaje się to zaskakujące, ruchome wielościany rzeczywiście istnieją i zbudowanie takich brył, choćby z papieru, nie jest bardzo trudne.

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

Symetralna to oś symetrii odcinka, a dwusieczna – kąta. W trójkącie tak symetralne, jak dwusieczne, przecinają się w jednym punkcie.