- Narzędzia
- Obiekty
- Wielokąty
- Słowa kluczowe
- Kategoria
- Planimetria
I Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne Juniorów»Zadanie 4
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu I Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne Juniorów
- Publikacja w Delcie: sierpień 2012
- Publikacja elektroniczna: 31-07-2012
Udowodnij, że wśród dowolnych
wierzchołków
-kąta
foremnego istnieją takie trzy, które są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że potrafimy tak wybrać
wierzchołków
-kąta foremnego, by żadne trzy nie były wierzchołkami trójkąta
równoramiennego. Oznaczmy wówczas wierzchołki
-kąta przez
w taki sposób, by wierzchołek
był
wybrany. Podzielmy teraz pozostałe wierzchołki na
par postaci
dla
Zauważmy, że każda
z tych par tworzy podstawę trójkąta równoramiennego o wierzchołku
zatem z każdej pary dokładnie jeden wierzchołek musiał być
wybrany. W szczególności wybrany jest jeden z wierzchołków sąsiadujących
z
(tzn.
) oraz jeden z wierzchołków odległych
o dwa miejsca od
(czyli
). Nie mogą być to
jednak sąsiednie wierzchołki, bo wówczas wraz z
tworzyłyby
trójkąt równoramienny złożony z trzech sąsiednich wierzchołków.
Zatem, gdy z jednej strony sąsiadujący z nim wierzchołek został wybrany,
z drugiej wybrany został wierzchołek odległy od niego o dwa miejsca.
Przypuśćmy zatem bez straty ogólności, że wybrane zostały wierzchołki
i
Stosując powyższe rozumowanie z wierzchołkiem
zamiast
oraz z wierzchołkiem
zamiast
stwierdzamy, że wybrane musiały być
oraz
Dostajemy zatem trójkąt równoramienny
co jest
sprzeczne z założeniem. Otrzymana sprzeczność kończy rozwiązanie
zadania.