Delta mi!

Wybierzmy na boku  taki punkt  że

Wtedy  a skoro  to

więc na czworokącie  można opisać okrąg. Wobec tego

skąd  Z drugiej strony,

więc również  Zatem

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem trójkąta  jest trójkąt  zatem  Analogicznie  Stąd

Obróćmy kwadrat o   wokół wierzchołka  niech  będzie obrazem punktu  Wtedy  zatem

Ponadto  więc  bo trójkąty te mają dodatkowo wspólny bok  Stąd

Z rozwiązania zadania 2 wiemy, że  Wysokości tych trójkątów poprowadzone z wierzchołka  są więc obie równe  czyli 1.

Punkty  leżą na jednym okręgu, bo  i punkty  leżą po tej samej stronie prostej  Kąt  jest prosty, więc  jest średnicą tego okręgu. Stąd  zatem  jest wysokością trójkąta  Analogicznie  jest wysokością tego trójkąta, więc  to jego ortocentrum. Wobec tego  jako trzecia wysokość, jest prostopadła do

Niech  będzie punktem styczności prostej  do danego okręgu. Wtedy  oraz zatem  oraz  Stąd

Na mocy rozwiązania zadania 6 wiemy więc, że

Stąd wniosek, że punkty  i   leżą na okręgu o średnicy  Leży na nim też punkt  bo

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem punktu  jest taki punkt  na boku  że  Obrazem prostej  jest prosta  jest ona prostopadła do  więc zawiera punkt  Opiszmy okrąg na prostokącie  jego średnicą jest  Punkt  leży na tym okręgu, ponieważ kąt  jest prosty. Średnicą okręgu jest także  więc również kąt  jest prosty.

Oznaczmy miary kątów trójkąta  przy wierzchołkach  i  przez  i  a miary kątów trójkąta  przy wierzchołkach  i  przez  i

Kąty  i   jako kąty zewnętrzne trójkątów  i   są związane zależnością

Niech  będzie dowolnym punktem na przedłużeniu boku  poza wierzchołek  Kąty  i   jako kąty zewnętrzne trójkątów  i   wyrażają się jako sumy:  Tak więc

Stąd  Zatem jeśli trójkąt  z kątem rozwartym przy wierzchołku  jest równoramienny, to  Z uzyskanych wcześniej równości dostajemy wówczas  czyli równoramienność trójkąta

Skoro punkt  jest środkiem  jego odległość od prostej  to średnia arytmetyczna odległości punktów  i   od  Jest ona równa średniej arytmetycznej odległości tych punktów od  ponieważ  i   Zatem  jest równo odległy od  i   skąd  oraz

Niech  będzie takim punktem na półprostej  że  Z podobieństwa trójkątów równoramiennych  i   mamy  Zatem skoro na czworokącie  można opisać okrąg, to

Wobec tego  co daje tezę.

Jeśli taki punkt  istnieje, to  jest dwusieczną kąta zatem z twierdzenia o dwusiecznej  Punkty  i  leżą więc na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/2. Analogicznie punkty  i   leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/3.

Niech punkt  na prostej  różny od  spełnia warunek  Wtedy

oraz

zatem punkt  należy do obydwu powyższych okręgów. Średnicą pierwszego z nich jest więc  a drugiego – Stąd jedynym ich wspólnym punktem jest  czyli  Ale wtedy  leży na prostej – sprzeczność.

Rys. 1

Punkty  i  leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej  Z symetrii względem prostej  punkt  też na nim leży (Rys. 1).

Rys. 2

Łuki  i   są równe, więc  jest dwusieczną kąta  Jednocześnie  jest też dwusieczną kąta (własność z początku artykułu, Rys. 2, stąd

Oznaczmy środki okręgów opisanych na trójkątach  i   odpowiednio przez  Niech  będą kolejno środkami odcinków  Proste  to symetralne odcinków  proste  to symetralne odcinków – przecinają się prostopadle w punkcie  Okrąg o średnicy  przechodzi więc przez punkt  Ma on środek w punkcie

Punkt  jest środkiem odcinka  Zatem prosta  jest równoległa do prostych  i   Prosta  jest do nich prostopadła. Wobec tego promień  okręgu  jest prostopadły do  To znaczy, że ów okrąg jest styczny do prostej

Odpowiedź:  jest środkiem łuku
Zauważmy, że kąt  ma stałą miarę (niezależną od wyboru punktu  ), a odcinek  – stałą długość. Wszystkie rozważane trójkąty  można więc wpisać w ten sam okrąg, przy czym kąt  jest oparty na ustalonej cięciwie. Pole takiego trójkąta wynosi  gdzie  to rzut prostokątny punktu  na  Jest ono największe, gdy  jest największe, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy  Ale to jest równoważne temu, że  czyli temu, że  jest dwusieczną kąta

Odbijmy czworokąt  symetrycznie względem prostych  oraz  i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Wówczas

więc punkty  i  leżą, w tej właśnie kolejności, na jednej prostej. Ponadto  stąd

Jednocześnie  oraz  zatem  Teza wynika z faktu, że łamana  łącząca punkty  i  nie może być krótsza niż odcinek  pomiędzy nimi:

Przypuśćmy, że otrzymaliśmy łamaną zamkniętą  i że  jest jej najdłuższym odcinkiem. Wtedy z   jest bliżej do  niż do  oraz z   jest bliżej do  niż do  Zatem odcinek  nie mógł zostać narysowany!

Zakładamy, że punkty A i C są białe, a punkty B i D – czarne.

Połączmy punkty odcinkami tak, aby każdy odcinek miał końce różnych kolorów oraz by suma długości wszystkich odcinków była minimalna z możliwych. Przypuśćmy, że odcinki  i  mają wspólny punkt Wówczas

na mocy nierówności trójkąta. Stąd zmiana odcinków  i  na  i  zmniejszyłaby sumę długości wszystkich odcinków, sprzecznie z założeniem.

Rozważmy konfigurację punktów  z rysunku, gdzie każdy odcinek ma długość 1.

Jeśli teza nie zachodzi dla żadnej pary punktów wybranej spośród  to każdy z tych punktów jest innego koloru. Wtedy albo  jest tego koloru co  lub  albo  jest tego samego koloru co  powiedzmy, zielonego. Jeśli każdy z punktów  jest innego koloru, to albo  jest tego koloru co  lub  albo  jest tego koloru co  czyli zielonego. Ale wówczas oba punkty  i   są zielone, co kończy dowód.

Wykażemy, że trójkąt  musi być równoboczny.

Załóżmy, że  jest ortocentrum trójkąta  Mamy równość kątów  i   jako wpisanych opartych na tym samym łuku. Skoro jednak  jest ortocentrum, to kąt  jest równy kątowi  Ten z kolei jest oparty na tym samym łuku co kąt  Zatem  czyli  jest dwusieczną i zarazem środkową w trójkącie  Zatem  co wynika np. z twierdzenia o dwusiecznej. Analogicznie dowodzimy, że

Wystarczy wykazać, że  Z faktu wnioskujemy, że  jest równy różnicy kątów wpisanych w okrąg  i opartych na łukach  oraz  Podobnie  jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  oraz  jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  i   i   jest równy różnicy kątów wpisanych opartych na łukach  i   Oznaczmy przez  długość łuku  Zatem teza zadania zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

Nietrudno zauważyć, że powyższa równość jest równoważna równości

co należało wykazać.

Niech punkty  i   będą rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste  i  Punkt (środek łuku ) leży na dwusiecznej kąta  Zatem  trójkąty  i  są przystające,  Są możliwe dwie konfiguracje: albo (jak na rysunku) punkt  leży między punktami  i  a   między  i – albo odwrotnie (  między  zaś  między ).

W sytuacji, jak na rysunku, mamy równości

więc punkt  jest środkiem odcinka (rozumowanie w drugim przypadku, po oczywistej zmianie w znakach, prowadzi do tej samej konkluzji). Wniosek: prosta  jest symetralną odcinka  i wobec tego

Niech  oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta

Zauważmy, że kąty  i   są równe jako wpisane oparte na tym samym łuku. Z założenia (wbrew rysunkowi), kąty  i   też są równe. Odcinek  to wspólny bok trójkątów  i   więc są one przystające. Stąd  czyli trójkąt  jest równoramienny.

Odpowiedź: Oto pokolorowanie, w którym taki odcinek nie istnieje.

Ustalmy punkt  płaszczyzny i pomalujmy go na czarno. Punkty na każdym okręgu o środku w   i promieniu niewymiernym pomalujmy na biało, zaś punkty na każdym okręgu o środku w   i promieniu wymiernym – na czarno. Przez dowolny odcinek dodatniej długości musi przechodzić pewien okrąg pierwszego typu, jak również drugiego. Zatem odcinek ten nie może być jednokolorowy.

Niech  będzie takim punktem na boku  że  Skoro  to punkt  leży na odcinku

Wobec  prosta  jest równoległa do prostej  lub przecina ją w punkcie  leżącym od strony punktu  na zewnątrz odcinka  Zatem

tzn. możemy przepchnąć punkt  do gorszego przypadku – punktu  Ponieważ pole trójkąta  nie zależy od położenia punktu  na odcinku  więc mamy

Niech  Wówczas

i mamy

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  i   Ale  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  lub  Zatem równość w tezie zadania zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt  oraz punkt  lub  są środkami odpowiednich boków trójkąta