Odpowiedź: nie.
Uzasadnienie: długość krzywej to kres górny długości linii łamanych w nią wpisanych. Weźmy więc dowolną łamaną, wpisaną w rozważaną krzywą (utworzoną dla pewnego parametru
); jej wierzchołki
leżą (w takim porządku) na owej krzywej, przy czym
Przedłużenia odcinków
docierają do boku
w punktach
Ustalmy
i spójrzmy na czworokąt
którego boki
oraz
mają długość
Przyjmijmy, że punkt
jest nie mniej oddalony od prostej
niż punkt
(gdy jest przeciwnie, zamieniamy role wskaźników
oraz
). Niech punkt
uzupełnia równoległobok
Skoro półproste
spotykają się (w punkcie
), odcinek
przecina odcinek
Trójkąt
jest równoramienny, jego osią symetrii jest symetralna odcinka
Punkt
leży po tej stronie owej symetralnej co punkt
- zatem bliżej punktu
niż punktu
Tak więc ![| Pi−1Pi < Pi− 1Qi .](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2019/04/29/zm-k44-782/29x-f0febc355f5196de524419f8235960aac0f3782c-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
Taka nierówność zachodzi dla wszystkich
wobec czego łamana
jest krótsza niż bok
Biorąc kres górny długości wszystkich takich łamanych, wpisanych w rozważaną krzywą, stwierdzamy, że jej długość nie przekracza długości boku ![AB. |](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2019/04/29/zm-k44-782/4x-1d24a415baa83f8ac39d32900ce0bdbd07046e5e-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
[Korzystając ze wzoru całkowego na długość krzywej (najwygodniej we współrzędnvch biegunowych ze środkiem
), nietrudno się przekonać, że długość badanej krzywej jest ściśle malejącą funkcją parametru
Dla
ta krzywa to odcinek
; dla
jej długość jest więc ostro mniejsza niż
]