Delta mi!

Załóżmy najpierw, że punkt  jest taki, że trójkąt  jest równoboczny. Wówczas trójkąty  i  są przystające, gdyż są podobne i   Ponieważ obrazem odcinka  przy obrocie o kąt  (skierowany zgodnie z kątem ) względem punktu  jest odcinek  więc obrazem trójkąta  jest trójkąt  Zatem kąt  ma miarę  a ponadto  więc trójkąt  jest równoboczny.

---

Są dwa punkty  dla których trójkąt  jest równoboczny. Łatwo sprawdzić, że dla nich trójkąt  jest też równoboczny. Zatem są to wszystkie szukane punkty.

Umieśćmy w punktach  i  masy  a w  i  masy  takie, by  (da się takie masy dobrać). Wtedy  Wobec tego

Jednocześnie  oraz  więc

Niech      Umieśćmy w  odpowiednio masy  i wyznaczmy środek ciężkości  tego układu.    więc  leży na prostej  Jednocześnie  więc  leży też na prostej  Stąd 

Umieśćmy teraz dodatkowo masę  w punkcie  i masę  w punkcie  wtedy  Niech  będzie środkiem ciężkości „starych” i „nowych” mas, wtedy  leży na prostej  łączącej ich środki ciężkości.

Z twierdzenia o dwusiecznej,  jest jej spodkiem dla  Leży więc na niej punkt  Analogicznie leży on też na pozostałych dwusiecznych kątów trójkąta, jest zatem środkiem okręgu wpisanego. Stąd  co kończy dowód.

Okrąg  jest wpisany w romb  Prosta  styczna do okręgu  przecina odcinki  i  odpowiednio w punktach  i  Wykaż, że wartość iloczynu  nie zależy od wyboru stycznej

Niech  oznacza środek okręgu  (jest to jednocześnie punkt przecięcia przekątnych rombu).

Ponieważ proste  i  są styczne do okręgu  więc

Analogicznie

Z równości  otrzymujemy również, że  Sumując kąty czworokąta  otrzymujemy  skąd  W takim razie

Z równości odpowiednich kątów otrzymujemy, że trojkąty  i  są podobne, skąd mamy

W takim razie iloczyn  jest stały i wynosi

Z nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową mamy

Obwód czworokąta jest maksymalny, gdy maksymalna jest suma  Powyżej zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy  i   czyli wtedy i tylko wtedy, gdy prosta  tworzy z półprostą  kąt

Każda oś symetrii wielokąta przechodzi przez środek ciężkości  jego wierzchołków, bo obrazem  w symetrii względem takiej osi jest on sam.

Rozważmy moment, gdy mucha, która przeszła cały obwód, jest w wierzchołku  trójkąta. Środek ciężkości pozostałych dwóch much jest w środku  odcinka pomiędzy nimi (Rys. a). Środek ciężkości  wszystkich much jest na odcinku  oraz  czyli  Stąd 

---

Analogiczne rozumowanie dla wierzchołków  i  prowadzi do wniosku, że jedynym możliwym położeniem  jest środek ciężkości trójkąta (Rys. b)

Umieśćmy w wierzchołkach  równe masy  Wtedy  gdzie  to środek . Środek ciężkości trójkąta  leży na środkowej ; analogicznie leży na pozostałych środkowych. Ponadto  czyli środkowe dzielą się w stosunku   licząc od wierzchołka.

Jeśli  jest wysokością  to  i  Stąd

czyli  Szukany środek ciężkości leży więc na  i analogicznie na wysokościach z  i z

Przyjmijmy, że  i oznaczmy przez miarę kąta ostrego (lub prostego), jaki zadana środkowa tworzy z prostą, zawierającą bok  Jest to kąt wewnętrzny w trójkącie o bokach długości  przeciwległy bokowi  Ze wzoru kosinusów:

Przepiszmy te związki w postaci

Wiadomo, że jeśli  jest funkcją ściśle wklęsłą (w pewnym przedziale) i jeśli  jest stałą dodatnią, to funkcja  jest ściśle malejąca. Zastosujmy tę własność do funkcji  (ściśle wklęsłej w przedziale  skoro ) oraz do stałej dodatniej  Tworzymy funkcję malejącą

Zauważmy, że  (równoważnie: ; jest to nierówność dla boków jednego z trójkątów, na które środkowa dzieli trójkąt wyjściowy). Zatem

czyli

Pamiętamy jednak, że    Otrzymujemy nierówność

– czyli tezę zadania.

Wobec nierówności trójkąta mamy

Podobnie,

Dodając te trzy nierówności stronami, mamy tezę.

Skoro  to Podobnie          Dodając stronami, uzyskujemy    czyli

Zauważmy, że  bo trójkąty te mają równe podstawy  i wspólną wysokość z Ponadto  (ponieważ ). Analogicznie  Stąd  Podobnie  i ostatecznie

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę  i równe pola, więc też równe wysokości. Punkty  są po tej samej stronie prostej  stąd  Dla pozostałych przekątnych dowód jest analogiczny.

Zachodzą kolejno równości

przy czym  wynika z równoległości  a  z 

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc też równe pola. Stąd

czyli

Trójkąty  i  mają wspólną wysokość z  więc

Podobnie  Stąd

czyli    Wobec tego

Okrąg  opisany na trójkącie  nie jest styczny do żadnego z dwóch danych okręgów (bo je przecina w punktach różnych od ). Zatem żaden z odcinków    nie jest jego średnicą; w takim razie żaden z kątów    nie jest prosty. Stąd wniosek, że żaden z punktów    nie leży na prostej  wobec czego prosta  nie przechodzi przez punkt

Mamy więc niezdegenerowany trójkąt  wpisany w okrąg  Wysokość poprowadzona z wierzchołka  lub jej przedłużenie, przecina okrąg  ponownie w punkcie  Ortocentrum trójkąta  leży w punkcie symetrycznym do  względem prostej  – czyli w punkcie

Punkty symetryczne do ortocentrum  względem boków  i  także leżą na okręgu ; oznaczmy je odpowiednio przez  i  (żaden z nich nie pokrywa się z  bo punkt  nie leży na prostej ).

Trójkąt  jest symetryczny do  więc    Ostatnia równość mówi, że  jest punktem okręgu o środku  przechodzącego przez  i  Skoro zaś leży na okręgu  i nie pokrywa się z  musi się pokrywać z  lub ; ustalmy oznaczenia (   ) tak, że  Analogicznie stwierdzamy, że      Tak więc  To znaczy, że punkty      leżą na okręgu o środku

Rozważmy wspólną styczną  okręgów  i  przechodzącą przez punkt  . Przecina ona prostą  w punkcie  Ponieważ  więc trójkąt  jest prostokątny. Wobec tego  jest średnicą okręgu  jako cięciwa, na której oparty jest kąt prosty  a średnica okręgu jest prostopadła do stycznej w swoim końcu.

Liczby szóstkowe przestrzennie.

Spójrzmy na rysunek przestrzennie.

Czy teraz widać, że  oraz że ?