Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie o trójzębie»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie o trójzębie
Publikacja w Delcie: marzec 2019
Publikacja elektroniczna: 1 marca 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (371 KB)

Trójkąt wpisany jest w okrąg o promieniu $R$ i opisany na trójkącie o promieniu $r.$ Odległość między środkami tych okręgów jest równa $|d.$ Dowieść, że $d2 = R(R − 2r)$ (twierdzenie Eulera).

Wskazówka

Niech $P$ będzie rzutem prostokątnym punktu $I$ na odcinek $AB.$ Trójkąty $|API$ oraz $LaBSa |$ są podobne, więc $SAIS SPIS |SLaSaS = SBSaS.$ Po zastosowaniu twierdzenia o trójliściu i przekształceniach otrzymamy $AI$ Z drugiej strony, $| − AI$ jest potęgą punktu $| I$ względem okręgu opisanego na trójkącie $ABC,$ czyli wynosi $2 2 d | − R .$