Delta mi!

Trójkąty i są równoramienne. Przyjmijmy oznaczenia: ; zatem Środek odcinka leży bliżej punktu niż punktu wobec czego punkt leży między i ; w takim razie Rachunek kątów w trójkącie pokazuje, że

Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc Uzyskujemy równość z której wynika, że czworokąt ma okrąg opisany. Skoro punkt jest środkiem łuku tego okręgu; a to znaczy, że półprosta połowi kąt To teza zadania.

Niech liczba boków wielokąta będzie równa a jego wierzchołkami będą kolejno Dla niech

gdzie dla Innymi słowy, jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty oraz Ponieważ

(gdzie jest obwodem danego wielokąta), to jest liczbą parzystą. Ponadto mamy

Zachodzi także równość Stąd wynika, że ciąg liczb

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się nie więcej niż o 2. Zatem istnieje takie że czyli punkty oraz dzielą obwód danego wielokąta na dwie części o jednakowej długości.

Odpowiedź:

Podzielmy dany kwadrat na kwadratów jednostkowych, zwanych dalej polami, i wyróżnijmy pola znajdujące się na przecięciach wierszy i kolumn o parzystych numerach. Takich pól jest

Zauważmy, że każdy parzysty prostokąt o wymiarach a więc o polu zawiera dokładnie wyróżnionych pól. Wobec tego łączne pole części podziału będących parzystymi prostokątami jest równe co najwyżej Łączne pole kwadratów jednostkowych jest zatem równe co najmniej skąd wniosek, że jest co najmniej tyle takich kwadratów.

Wystarczy zauważyć, że podział, w którym otrzymujemy kwadratów jednostkowych, jest możliwy - wystarczy wyciąć kwadrat o boku a pozostałą część podzielić na kwadraty jednostkowe.

Przypiszmy kolejnym wierzchołkom danego wielokąta foremnego kolejne reszty z dzielenia przez oraz oznaczmy przez resztę przyporządkowaną wierzchołkowi

Zauważmy, że wtedy i tylko wtedy, gdy Przypuśćmy nie wprost, że liczby dają parami różne reszty przy dzieleniu przez Wówczas ich suma daje resztę

Z drugiej strony, rozważana suma jest równa

Uzyskana sprzeczność kończy rozwiązanie.

Rozważmy dowolną spośród danych przekątnych. Ponieważ pozostałych przekątnych ją przecina, więc po obu stronach rozważanej przekątnej znajduje się po wierzchołków wielokąta. Stąd wniosek, że ta przekątna łączy przeciwległe wierzchołki -kąta foremnego, więc przechodzi przez jego środek.

Rozważmy przekształcenie będące złożeniem inwersji o środku i promieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta Przekształcenie to zamienia półproste i oraz prostą z okręgiem W takim razie okrąg przejdzie na okrąg styczny do prostej i półprostych i czyli na okrąg Stąd wniosek, że obrazem punktu jest punkt Półprosta przejdzie więc na półprostą a skoro inwersja zachowuje kąty, to

Jeśli to punkty i pokrywają się i punkty leżą na dwusiecznej Dalej zakładamy, że Wówczas punkty i są różne, zaś proste i nie są równoległe. Rozważmy złożenie inwersji o środku i promieniu z symetrią względem dwusiecznej kąta Przekształcenie to zamienia półproste i oraz prostą z okręgiem Tak jak w poprzednim zadaniu uzasadniamy, że obrazem okręgu jest okrąg dopisany do trójkąta styczny do boku w punkcie który jest obrazem punktu w tym przekształceniu. Ponieważ jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta to proste i są prostopadłe. W takim razie obrazem punktu jest punkt przecięcia prostej (która jest swoim własnym obrazem) z prostą (która jest obrazem okręgu ). Niech będzie obrazem punktu Wtedy z definicji inwersji mamy

czyli

Z powyższego i z równości (bo inwersja zachowuje kąty) otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. W takim razie Ponieważ to mamy

skąd

Zatem jest dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta więc jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta W takim razie co wraz z równością (bo ) oznacza, że punkty i leżą na jednym okręgu. To zaś jest równoważne z tym, że punkty są współliniowe.

Niech to połowa obwodu trójkąta to miara kąta zaś to promień okręgu wpisanego w trójkąt Inwersja o środku i promieniu złożona z symetrią względem dwusiecznej kąta przeprowadza okrąg na okrąg dopisany do trójkąta styczny do boku w punkcie a punkty i odpowiednio na punkty i Ponieważ i to

co wraz z równością prowadzi do wniosku, że Z drugiej strony z definicji inwersji mamy

zatem

Przyjmijmy teraz, że prosta przechodząca przez i prostopadła do prostej przecina boki i odpowiednio w punktach i Skoro to odległość punktu od prostej jest równa skąd wniosek, że czyli Analogicznie uzasadnimy, że więc punkt leży na odcinku

Niech i będą spodkami wysokości trójkąta poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków Ponieważ na czworokątach i można opisać okręgi, to

Rozważmy inwersję o środku i promieniu złożoną z symetrią środkową względem punktu Obrazami punktów są zatem punkty Ponieważ

to punkty leżą na jednym okręgu, który w rozważanym przekształceniu przechodzi na prostą Obrazem punktu jest punkt przecięcia prostych i Analogicznie stwierdzamy, że w tym przekształceniu punkt przechodzi na punkt przecięcia prostych i a punkt przechodzi na punkt przecięcia prostych i

Wystarczy udowodnić, że punkty leżą na jednej prostej. Stosując twierdzenie Menelausa dla trójkąta widzimy, że wystarczy wykazać, że

(*)

Wykorzystując wzór na odległość obrazów inwersyjnych, otrzymujemy

Uwzględniając równość widzimy, że

Analogicznie uzasadniamy, że

Mnożąc te trzy równości stronami, dostajemy co kończy rozwiązanie.

Skorzystamy z następującego lematu: jeśli punkt leży wewnątrz trójkąta i to Aby go udowodnić, zauważmy najpierw, że nie leży na co najmniej jednym z odcinków Bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to Niech będzie punktem przecięcia prostych i Wtedy z nierówności trójkąta:

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Niech będzie środkiem okręgu a będzie promieniem tego okręgu. Punkt leży w co najmniej jednym z trójkątów ; bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to trójkąt Podobnie, leży w którymś z trójkątów ; przyjmijmy, że jest to trójkąt Zgodnie z lematem zachodzi ; i analogicznie: Zatem któryś z odcinków jest mniejszy od i któryś z odcinków jest większy od

Niech będzie środkiem boku W okręgu kąt wpisany oparty na cięciwie przystaje do kąta między tą cięciwą a styczną w punkcie : W połączeniu z oczywistą równością daje to podobieństwo trójkątów i więc i proporcję Przy oznaczeniach uzyskana proporcja pokazuje, że Oznaczając dalej dostajemy ciąg zależności

W tym szacowaniu równość zostaje osiągnięta, gdy oraz Nierówność zachodzi więc dla wartości której powiększyć już nie można.

Przez punkt poprowadźmy proste równoległe do boków trójkąta przecinające te boki w punktach jak na rysunku. Wówczas podobnie z długościami i stąd należy zmaksymalizować pole trójkąta Oznaczając przez pole figury dostajemy

Trójkąty i są podobne do w skalach odpowiednio i W związku z tym

Łącząc (*) i (**), dostajemy Równość otrzymamy, biorąc za punkt środek ciężkości trójkąta co kończy rozwiązanie.

Odcinek połowi kąt Leżący na nim punkt spełnia warunek charakteryzujący środek okręgu wpisanego w trójkąt Trójkąt jest podobny do (równe kąty przy wierzchołkach oraz ). Otrzymujemy następujący ciąg proporcji (pierwsza z nich zachodzi, bo jest dwusieczną kąta w trójkącie ; druga wynika ze wspomnianego podobieństwa; a ostatnia z równoległości ):

Niech będzie punktem przecięcia prostych i Wystarczy teraz zastosować twierdzenie Menelausa do trójkąta przeciętego prostą :

W tym iloczynie skrajne czynniki dają (po wymnożeniu) wartość 1. Zatem

Skoro oraz to istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem i do względem ; nazwijmy go Skoro oraz to lewa strona dowodzonej równości przybiera postać

Podobnie istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem oraz do względem i podobnie prawą stronę dowodzonej równości można przepisać jako Do zakończenia rozwiązania wystarczy zauważyć, że trójkąty oraz są przystające (cecha bok-bok-bok).

Skoro oraz to istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem i do względem ; nazwijmy go Trójkąt ma boki o długościach a jego kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę

Podobnie istnieje punkt jednocześnie symetryczny do względem oraz do względem Trójkąt jest przystający do trójkąta a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę Pozostaje zauważyć, że

skąd Teza zadania wynika więc z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do dowolnego z tych dwóch trójkątów.

Niech punkty będą rzutami prostokątnymi punktów na prostą Trójkąt prostokątny jest przystający do trójkąta ; analogicznie, trójkąt przystaje do Zatem Z ostatniej równości wynika, że środek odcinka jest też środkiem odcinka i wobec tego

Prosta przecina odcinki i w punktach, które nazwiemy odpowiednio i Z proporcji

wyznaczamy

Skoro zaś zatem i w takim razie To oznacza, że a prosta to prosta prostopadła (z definicji) do