Delta mi!

Udowodnimy indukcyjnie względem  że dla każdego  jest prawdziwa nierówność z tezy zadania. Dla   mamy

Zakładając prawdziwość tezy dla   udowodnimy ją dla   Ponieważ

dla   oraz

dla   otrzymujemy dla 

Dla  ten wzór jest również prawdziwy, jeśli przyjmiemy

Korzystając z założenia indukcyjnego, dostajemy

Ponieważ

oraz  otrzymujemy

Niech  spełnia warunek z zadania. Korzystając dwukrotnie z równości (najpierw dla  i   a następnie dla  i  ), dostajemy

Jeśli w otrzymanej równości zamienimy  i   rolami, to lewa strona się nie zmieni, więc przyrównując prawe strony, otrzymamy

zatem dla pewnej stałej  Wstawiając to do wyjściowego równania, nietrudno się przekonać, że jedyną funkcją spełniającą zadany warunek jest

Liczby      muszą być różne od zera. Przepisujemy pierwsze równanie jako  i dalej (cyklicznie)

(1)

Mnożymy stronami:

(2)

Gdyby któraś z różnic  była zerem, to wobec zależności (1) wszystkie byłyby zerami, czyli liczby      byłyby równe. To się jednak kłóci z nierównością, daną w założeniach. Różnice te są więc różne od zera. Równanie (2) po skróceniu daje wynik: ; jedynymi możliwymi wartościami iloczynu   są liczby  oraz   Każda z nich jest faktycznie osiągalna – na przykład dla  oraz

Bez utraty ogólności możemy założyć, że  Wówczas

Zauważmy, że dla mamy

Zatem w szczególności

Zauważmy, że funkcja jest kawałkami liniowa i ograniczona z dołu przez W takim razie przyjmuje minimum w jednym z węzłów Nietrudno sprawdzić, że jest to

Mamy Oczywiście, dla każdego zachodzi a więc również W takim razie dla mamy

Z drugiej nierówności możemy przez łatwy dowód indukcyjny wyprowadzić własność dla Wówczas jednak pierwsza nierówność daje oszacowanie

Wartość jest osiągana przez dla ciągu określonego przez warunek dla Faktycznie wówczas

dla oraz

więc ciąg ten spełnia warunki zadania.

Niech  będzie funkcją, spełniającą podane równania. Wykażemy, że jest to funkcja nieparzysta. Z drugiego równania widać, że  Tak więc  Przypuśćmy, że dla pewnej liczby   zachodzi równość  Wystarczy pokazać, że  Otóż

(ostatnia równość wynika ze spostrzeżenia, że  dla wszystkich  ). Stąd  co jest prawdą jedynie dla  Zatem  jest funkcją nieparzystą.

Dla  mamy  Wobec nieparzystości,  dla  Dla  dostajemy oszacowanie  To znaczy, że funkcja   odwzorowuje przedział  w siebie. Z równania  wynika teraz, że funkcja   odwzorowuje każdy przedział postaci  w siebie  Zachodzi więc nierówność

Weźmy dowolną liczbę  i oznaczmy  Z równania  dostajemy  dla  Stąd  czyli

co w granicy (przy ) daje równość  Wykazaliśmy w ten sposób, że  dla 

Dzięki równości  wnosimy stąd, że

Funkcja identycznościowa spełnia oba równania układu i jest jego jedynym rozwiązaniem.

Załóżmy, że  gdzie  to długość odcinka z ruchomą taśmą. Jeśli Jaś będzie biegł poza taśmą, to pokona drogę od  do  w czasie

a gdy będzie biegł po taśmie, to droga zajmie mu czas

Zauważmy, że

więc Jaś powinien biec poza taśmą.

Niech  będzie średnią arytmetyczną liczb  Oznaczmy:

Suma liczb napisanych po lewych stronach wynosi 3. Zatem i suma liczb po prawych stronach wynosi 3; a to znaczy, że  Stąd

W nierówności danej do udowodnienia wyodrębniamy pierwszy składnik i szacujemy z góry jego mianownik:

Liczba  jest dodatnia (tu korzystamy z założenia, że ), zatem po prawej stronie ostatniej nierówności mamy również liczbę dodatnią, i wobec tego

Stąd

Mamy też analogiczne oszacowanie dla pozostałych dwóch składników zadanej nierówności. Po dodaniu stronami otrzymujemy (pamiętając, że  oraz ):

Załóżmy, że gdzie to długość odcinka z ruchomą taśmą. Jeśli Jaś zasznuruje but poza taśmą, to pokona trasę w czasie

Jeśli natomiast zasznuruje but na taśmie, to przejście trasy zajmie czas

Wobec tego powinien zasznurować but na taśmie.

Zauważmy, że

gdzie w ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że ciągi  są malejące.

Z nierówności między średnimi i oszacowania mamy

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  i co jest równoważne temu, że

Przyjmijmy oznaczenie  dla

Zauważmy, że

a stąd

Skoro  to  Wykażemy indukcyjnie, że dla każdej liczby nieparzystej  różnica  jest liczbą całkowitą.

Dzieląc wyjściowe równanie przez  widzimy, że (liczba całkowita). Zatem także liczba  jest całkowita.

Ustalmy wykładnik nieparzysty  i załóżmy, że liczby  oraz  są całkowite. Przekształcenie

pokazuje, że wówczas liczba  też jest całkowita. Przez indukcję wnosimy, że liczby  wszystkie są całkowite.

Ponownie ustalmy wykładnik nieparzysty  Ze związków (  całkowite) wynika, że  Zachodzi więc równość  Wystarczy ją pomnożyć przez  by uzyskać tezę zadania.

Z nierówności między średnimi mamy

Zakładając, że  i   spełniają podane równanie, dostajemy  a stąd  co jest mniejsze niż  np. dla

Jak w rozwiązaniu zadania 654, tak i teraz użyjemy wzoru Stolza:

dla każdego ciągu  rosnącego do nieskończoności, i dla każdego ciągu  dla którego granica po prawej stronie istnieje.

Dany w zadaniu iloraz piszemy w postaci

(1)

Zgodnie z wynikiem zadania 654, ; pozostaje zająć się drugim czynnikiem. We wzorze Stolza przyjmijmy :

(2)

jeśli tylko ta ostatnia granica istnieje.

W rozwiązaniu zadania 654 zostało użyte przekształcenie

oraz fragment rozwinięcia potęgowego

Zatem

W tym ostatnim iloczynie pierwszy czynnik dąży do (nieco dłuższy fragment rozwinięcia ). Drugi czynnik: licznik dąży do 4, mianownik do 1. Cały iloczyn dąży do  Tyle więc wynosi granica napisana po lewej stronie równości (2). Wracamy do równości (1), pamiętając, że  i otrzymujemy ostatecznie

Z nierówności trójkąta mamy

Pozbyliśmy się tym samym zmiennej  i wystarczy teraz udowodnić, że

W tym celu zamieniamy zmienne:  tzn.  Otrzymujemy wówczas

Równania opisują płaszczyznę przechodzącą przez punkty  i   oraz sferę o środku w punkcie  i promieniu 1. Sfera ta przechodzi przez te same trzy punkty, więc przecina się z daną płaszczyzną wzdłuż okręgu przez nie wyznaczonego. Stąd układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Równania opisują okrąg o środku  i promieniu  oraz okrąg o środku  i promieniu  Odległość między środkami tych okręgów równa jest

czyli równa sumie ich promieni. Okręgi są więc styczne i układ równań ma jedno rozwiązanie.

Niech  będzie najmniejszą liczbą o tej własności, że  dla każdej liczby rzeczywistej  Pokażemy, że wówczas  jest funkcją stałą, równą  w każdym punkcie. Załóżmy nie wprost, że dla pewnego  jest  Skoro

to z określenia liczby  znajdziemy liczbę  dla której

To jednak daje sprzeczność, bowiem

Wykres funkcji oraz stycznej do wykresu w punkcie

Daną nierówność możemy przepisać w postaci

Zauważmy, że równość zachodzi dla  Równanie stycznej do funkcji  w punkcie  ma postać

Zauważmy, że dla liczb  spełniających warunek  suma wartości wyrażenia  jest równa

Wystarczy więc, jeśli wykażemy, że dla  prawdziwa jest nierówność

co sugeruje wykres na rysunku. Po prostych przekształceniach otrzymujemy

a ta nierówność jest spełniona, ponieważ

Wykres funkcji i stycznej w 

Na pierwszy rzut oka ten przykład jest inny od poprzedniego – tym razem mamy sumę funkcji dwóch zmiennych. Ale to tylko pozorna trudność. Spróbujmy udowodnić nierówność

gdzie  i   są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Dzieląc obie strony przez  i podstawiając  otrzymujemy

Teraz już wiemy, co robić: w wyjściowej nierówności równość zachodzi dla  więc musimy tak dobrać współczynniki  i   aby równość zachodziła dla  Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy współczynniki  i 

Udowodnimy teraz, że dla dodatniej liczby rzeczywistej  zachodzi nierówność

Równoważnie możemy zapisać  a następnie doprowadzamy nierówność do postaci – teraz widać, że to prawda dla dowolnego

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich  zachodzi nierówność

Szacując w ten sposób każdy ze składników lewej strony wyjściowej nierówności, dostajemy tezę.

Wykres funkcji i stycznej w 

Tym razem sytuacja jest jeszcze inna, ponieważ mamy sumę funkcji trzech zmiennych. Jednak i w tym przypadku łatwo można ją sprowadzić do sumy funkcji jednej zmiennej. Zauważmy, że dana nierówność jest jednorodna: liczniki i mianowniki ułamków są wielomianami złożonymi z jednomianów tego samego stopnia, a ponadto stopień licznika i mianownika jest taki sam. Stąd wynika, że możemy bez straty ogólności przyjąć (Jest to bardziej wygodne niż założenie  gdyż równość zachodzi dla ) Wówczas dana nierówność przyjmuje postać

Znajdując równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie  otrzymujemy do udowodnienia nierówność

która jest równoważna  co jest prawdą dla

Dodając stronami otrzymane w ten sposób oszacowania wszystkich ułamków lewej strony danej nierówności, otrzymujemy tezę.

Jak nietrudno się przekonać, przy założeniu  nierówność zachodzi nie tylko dla liczb dodatnich, ale także dla nie mniejszych niż

Wszystkie wyrazy  są liczbami dodatnimi. Z nierówności (dla ) wynika, że ciąg  jest malejący – zatem zbieżny do granicy  Równanie  daje w granicy zależność  która nie zachodzi dla żadnej liczby dodatniej (w myśl tej samej nierówności). Zatem

Zastosujemy twierdzenie Stolza. Mówi ono, że jeśli  jest ciągiem rosnącym do nieskończoności, to

dla każdego ciągu  dla którego granica po prawej stronie istnieje.

Biorąc  mamy w mianowniku wyrażenia po prawej stronie jedynkę, a w liczniku:

Gdy (więc ), ten iloraz dąży do  widać to na przykład z początkowego fragmentu rozwinięcia potęgowego (przy ). Tak więc

czyli

Autor zadania, pan Witold Bednarek, przysłał je wraz z takim zmyślnym rozwiązaniem:
średnia arytmetyczna układu  liczb, mianowicie -krotnie powtórzonej liczby  oraz liczb  jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, równej :

Do obu stron dodajemy  i po prostym przekształceniu otrzymujemy

Wystarczy teraz napisać analogiczne nierówności dla par  oraz  po czym dodać te trzy nierówności, by uzyskać tezę zadania.

Zauważmy, że dla  zachodzi

gdyż

Zatem

Dla  zachodzi nierówność

Weźmy pod uwagę funkcję

Dla  mamy

więc funkcja  jest ściśle wypukła w przedziale  Stąd wynika, że dla każdej liczby  jest spełniona nierówność  Po podstawieniu wyrażenia definiującego funkcję  i prostym przekształceniu dostajemy:

Prawa strona ma wartość stałą

Przypuśćmy, że prosta  jest asymptotą funkcji  przy  To znaczy, że

Uzyskana przed chwilą zależność

przybiera postać

To już jest oczekiwana sprzeczność, bo wyrażenie w pierwszym nawiasie kwadratowym ma stale wartość 0, a to w drugim dąży do 0 gdy  Wniosek: Funkcja  spełniająca podane warunki, nie ma asymptoty przy