Zadanie

Zadania w Delcie

Narzędzia
Obiekty: Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Trójmian kwadratowy»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy
Publikacja w Delcie: październik 2019
Publikacja elektroniczna: 30 września 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)

Wykorzystując funkcję kwadratową

2 2 2 f (x) = (a1x + b1) +(a2x + b2) + ...+ (anx + bn) ,

udowodnić nierówność Cauchy'ego-Schwarza

(a21 +a22 + ...+a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n) ⩾(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2.

Wskazówka

Mamy

2 2 2 2 2 f (x) = (a1 +...+ an)x + 2(a1b1 + ... +anbn)x + (b1 +...+ bn).

Funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc $∆ ⩽ 0.$ Jest to nierówność równoważna dowodzonej.