Delta mi!

Zauważmy, że

Dodając stronami te dwie równości, uzyskujemy czyli

Łatwo sprawdzić, że liczby spełniające założenia zadania rzeczywiście istnieją (np. ), więc znaleziona wartość 0 istotnie jest osiągalna.

Podaną równość rekurencyjną podnosimy stronami do kwadratu (zastępując literkę literką i dostajemy równoważną zależność

Dodajemy te równości dla otrzymując

Stąd od razu widać, że (dla ), i wobec tego

gdzie - jak zwykle - oznacza sumę odwrotności liczb naturalnych od 1 do Zależności (1) i (2) dają oszacowanie

Skoro mamy stąd

Liczby uzyskane po prawej stronie tworzą ciąg zbieżny do zera; wynika to na przykład ze znanej równości asymptotycznej ; albo - bardziej elementarnie - z nierówności (nietrudnej do wykazania przez indukcję). Dwustronne oszacowanie (3) pokazuje, że

Rozważmy funkcję Wówczas

wobec czego funkcja jest okresowa z okresem Skoro dla to

dla i w konsekwencji, wobec okresowości dla każdego Stąd ostatecznie

co było do udowodnienia.

Dla każdej liczby uzyskujemy z podanego równania (po podstawieniu ) równość

(1)

Wynika z niej, że funkcja jest różniczkowalna. Możemy więc zróżniczkować (1) stronami, otrzymując

(2)

W równości (1) zastępujemy przez oraz :

równość (2) (pomnożona przez 2) przybiera postać

(3)

Widać stąd, że i funkcja ma pochodną. Różniczkujemy (3) stronami:

(4)

W równaniu danym w założeniach podstawiamy następnie i wreszcie otrzymując kolejno

Równość (4) (pomnożona przez 4) daje w efekcie

Uzyskana równość zachodzi dla wszystkich To znaczy, że jest wielomianem stopnia najwyżej drugiego.

I na odwrót, każdy taki wielomian spełnia równanie dane w założeniu zadania (i to nawet dla każdej pary różnych liczb ) - co łatwo sprawdzić.

Ciąg dany rekurencyjnie przez

spełnia dla naturalnego warunek co można sprawdzić indukcyjnie: dla 1, 2 i 3 sprawdzamy bezpośrednio, ponadto jeśli to mamy Kolejno otrzymujemy zatem

Rozwiązując te nierówności względem otrzymujemy kolejno

Oznaczmy ilorazy widoczne pod symbolem pierwiastka kolejno: (więc itd.). Wobec cykliczności można przyjąć, że Dalej oznaczmy

i odnotujmy dolne oszacowania:

Jeśli teraz (czyli ), wówczas

Jeśli natomiast (czyli ), wówczas

W obu przypadkach mamy po lewej stronie liczbę mniejszą niż rozważana suma ; zaś po prawej stronie - sumę trzech liczb, których iloczyn wynosi Z nierówności między średnimi dostajemy oszacowanie Liczba spełnia wymagany warunek

(Tę wartość wraz z powyższym uzasadnieniem, zaproponował pan Piotr Kumor, autor zadania; kto da więcej?).

Przypuśćmy nie wprost, że

Wówczas w szczególności skąd i analogicznie oraz Ponadto mamy

a więc

Łącząc te nierówności otrzymujemy

co z kolei w połączeniu z przyjętym założeniem nie wprost prowadzi do

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Ciąg powstaje przez iterowanie funkcji którą będziemy badać na przedziale Ponieważ maleje od wartości do wartości zatem odwzorowuje przedział na siebie i ma w tym przedziale dokładnie jeden punkt stały (tj. taki, że ). Obrazem przedziału jest przedział i na odwrót. Stąd wniosek, że wyrazy ciągu o numerach parzystych należą do jednego z tych przedziałów, a te o nieparzystych - do drugiego.

Równość przepisujemy jako Funkcja jest rosnąca; przy tym

wobec czego

(1)

Ponieważ (z założenia) zatem zaś

Użyjemy rachunku pochodnych. Oznaczmy (dla krótkości): i zauważmy, że Niech Wówczas

i dalej:

(2)

Dla mamy nierówność (por. (1)), więc wyrażenie w nawiasie po prawej stronie (2) ma w tych punktach wartość dodatnią. To znaczy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale ; a ponieważ zatem

(3)

Ciąg leży w przedziale i jest generowany rekurencyjnie wzorem Nierówność (3) pokazuje, że jest to ciąg malejący, i w konsekwencji zbieżny. Jego granica musi być punktem stałym funkcji ; jednak nie ma takiego punktu w przedziale otwartym (nierówność (3)). W takim razie granicą tego ciągu musi być liczba 1.

Funkcja ciągła przeprowadza ten ciąg na ciąg rosnący którego granicą jest wobec tego liczba To dowodzi, że niezależnie od wyboru wyrazu początkowego ciąg ma podciągi zbieżne do dwóch różnych granic: 1 oraz 2 (i do żadnej innej, bo dowolny podciąg ma nieskończenie wiele wspólnych wyrazów z jednym ze znalezionych podciągów, zbieżnych do 1 lub 2).

Udowodnimy najpierw, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych oraz dodatniej liczby całkowitej zachodzi nierówność

Rzeczywiście, przekształcając tę nierówność równoważnie, otrzymujemy

Przyjmując w powyższej nierówności dla mnożąc otrzymane związki stronami i korzystając z założenia zadania, uzyskujemy

Udowodnimy, że taka liczba nie istnieje.

Przyjmijmy oznaczenie Bezpośrednio sprawdzamy, że dla dowolnego zachodzi równość

Ponadto, jeżeli jest dodatnią liczbą całkowitą, to

więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Udowodnimy, że dla każdego zachodzi równość

(*)

co w połączeniu z obserwacją z poprzedniego akapitu zakończy dowód.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla równość jest spełniona. Przypuśćmy, że zachodzi ona dla pewnego ; wówczas

co oznacza, że zachodzi również dla To kończy rozwiązanie.

Z wypukłości funkcji wynika, że dla każdej pary liczb dodatnich zachodzi nierówność

(1)

Jeśli w jakimkolwiek punkcie to prawa strona (1) przedstawia funkcję nieograniczoną z góry i mamy tezę.

Dalej zakładamy, że (na całym przedziale ). Warunek dany w założeniach mówi więc, że dla każdej liczby całkowitej mamy W nierówności (1) podstawiamy i otrzymujemy

stąd

Wystarczy teraz przesumować te związki po :

Wyrażenie w nawiasie przybiera wartości dowolnie wielkie, zatem funkcja jest (w rozważanym przypadku) nieograniczona z dołu.

Wystarczy udowodnić, że nierówność

zachodzi dla każdego spośród możliwych wyborów znaków. Rzeczywiście, lewą stronę powyższej nierówności można zapisać w postaci

co jest liczbą nieujemną jako suma kwadratów liczb rzeczywistych. Pozostaje zauważyć, że liczba ta jest ściśle dodatnia, gdyż równości oraz (dla i pewnych wyborów znaków ) nie mogą wszystkie zachodzić jednocześnie.

Istnieje. Przykład Autora (W. Bednarek): ciąg

Bierzemy dowolnie utworzoną sumę skończenie wielu wyrazów, o numerach :

Suma w dużym nawiasie jest liczbą nieparzystą (jej pierwszy składnik to jedynka). Gdyby dla pewnej liczby naturalnej zachodziła równość wówczas pisząc w postaci ( nieparzyste) i przyrównując potęgi dwójki w i w uzyskalibyśmy równość ; oczywista sprzeczność.

Pozostaje zauważyć, że ciąg o wyrazach jest ograniczony.

Korzystając z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi uzyskujemy

skąd teza.

Wykażemy, że odtworzenie liczb jest możliwe. Zauważmy, że jeżeli oraz to

wobec czego To oznacza, że

więc najmniejsza z czterech liczb napisanych na kartce jest równa ; oznaczmy tę liczbę przez Pozostałe liczby oznaczmy przez i przyjmijmy (bez straty ogólności, z uwagi na symetrię ról liczb z tablicy), że Wówczas

a skoro liczby są większe od to

Przeprowadzimy dowód konstruktywny - zidentyfikujemy rozwiązania danego równania.

Zauważmy, że jeżeli to

skąd wynika, że dane równanie nie może być spełnione. Wobec tego a zatem dla pewnego (a właściwie dwóch)

Zauważmy, że skoro to

wobec czego

Dane równanie przybiera wówczas postać czyli

skąd lub dla pewnej liczby całkowitej Pozostaje zauważyć, że jeżeli to jeżeli zaś to przy czym rozwiązania są różne, o ile tylko Tym samym otrzymujemy łącznie różnych rozwiązań postaci

Ustalmy liczby o sumie równej 1. Funkcja jest wypukła w przedziale Stosujemy do niej nierówność Jensena dla trójki punktów z wagami :

Można przyjąć, że oraz Wówczas oraz

W ostatnim szacowaniu pierwsza nierówność staje się równością tylko dla zaś druga - tylko dla Stąd wniosek, że

Gdyby dopuścić trójki liczb wśród których jedna jest zerem, rozważana suma nadal miałaby sens oraz przyjęłaby wartość 4 dla Przy założeniu, że wartość 4 jest (jak widać) nieosiągalna; ale jest granicą badanej sumy np. dla gdy Jest więc jej kresem dolnym.

Niech będzie funkcją, spełniającą postawione warunki, i przyjmijmy, że funkcja nie jest stała. Istnieją więc liczby dla których W drugim z warunków, podanych w zadaniu, przyjmujemy i tworzymy ciąg arytmetyczny Skoro zatem (dla wszystkich ). Jednocześnie czyli

(1)

Analogicznie

(2)

W myśl pierwszego z podanych warunków,

Po lewej stronie wstawiamy wyrażenia (1), (2) i dostajemy nierówności

(3)

Dla dużych wyrażenia ujęte w symbol wartości bezwzględnej mają wartość dodatnią (bo ). Można więc opuścić moduły. Ale zależność (3) - po skasowaniu modułów - redukuje się do postaci ; sprzeczność.

W konsekwencji funkcja musi być stała. Jasne, że każda funkcja postaci spełnia wymagane warunki.

Gdy przebiega przedział wartość przebiega zbiór wszystkich liczb dodatnich. Należy więc znaleźć kres górny funkcji zmiennej Ponieważ kres górny na przedziale jest taki sam, jak na przedziale Pochodna funkcji ma po prostym przekształceniu postać

Skoro czynnik w pierwszym nawiasie jest stale dodatni. Czynnik w drugim nawiasie ma taki sam znak jak wyrażenie

Teraz badamy funkcję w przedziale Jej pochodna:

I znów, czynnik w pierwszym nawiasie jest dodatni. W drugim nawiasie widzimy trójmian kwadratowy, którego pierwiastki (rzeczywiste lub nie) mają iloczyn równy 1; w przedziale może być co najwyżej jeden pierwiastek. Dla dużych trójmian ma wartości dodatnie. Zatem wartości albo są dodatnie w całym przedziale albo są - przedziałami - najpierw ujemne, potem dodatnie. Funkcja jest więc albo rosnąca, albo (kolejno) malejąca-rosnąca. A ponieważ oraz wynika stąd, że także wartości są albo stale dodatnie, albo (przedziałami, od lewej) ujemne-dodatnie.

Funkcja ma taki znak, jak wobec czego możemy powtórzyć rozumowanie: funkcja jest albo rosnąca, albo (kolejno) malejąca-rosnąca. W każdym przypadku jej kresem górnym na przedziale jest jej wartość lub granica w jednym z końców przedziału. Otrzymujemy wynik:

W nierówności Bernoulliego (słusznej dla ) wykonujemy "przesunięcie zmiennej" uzyskując postać

Podstawiając oraz dostajemy

Mnożymy stronami przez otrzymując

Suma tych nierówności (dla ) to teza zadania.

Ustalmy liczbę rzeczywistą i przyjmijmy Załóżmy, że Możemy wówczas podstawić w podanym równaniu (bo ), otrzymując związek

Ale więc liczba po lewej stronie jest równa Prawa strona ma inną wartość, skoro (wartości funkcji są z założenia niezerowe). Sprzeczność dowodzi, że czyli Wobec dowolności liczby znaczy to, że funkcja jest dana wzorem dla wszystkich Sprawdzenie, że ta funkcja spełnia zadane równanie, jest natychmiastowe. Jest ona zatem jedynym rozwiązaniem tego równania.

Ustalmy liczbę naturalną i oznaczmy Oczywiście czyli zatem Dostajemy oszacowanie

Uzyskane ograniczenie dolne okaże się być szukanym kresem dolnym. Pierwsza z powyższych nierówności staje się równością, gdy ; druga będzie "bliska równości", gdy stosunek będzie bliski 1.

Wskażemy nieskończony ciąg rozwiązań równania Para jest rozwiązaniem. Dalej, jeśli para jest rozwiązaniem, to też, bowiem

Istnieją więc rozwiązania z dowolnie wielką wartością Gdy jest dowolną z takich par, wówczas czyli wobec czego (zgodnie z początkowym przekształceniem)

Liczba może być dowolnie wielka, zatem ostatnie wyrażenie może mieć wartość dowolnie bliską To dowodzi, że istotnie liczba jest kresem dolnym zbioru wartości

Ciąg spełnia warunek W takim razie

Podobnie otrzymujemy

Odejmując otrzymane wartości, dostajemy

Spróbujmy poszukać rozwiązania wśród funkcji postaci (motywacja: zarówno pochodna, jak i funkcja odwrotna do takiej funkcji, też ma taką postać - próba ma szansę powodzenia). Gdy stałe są dodatnie, funkcja jest ściśle rosnąca i przekształca przedział na ten sam przedział. Dla ustalonej wartości rozwiązujemy równanie (z niewiadomą ), otrzymując Tak więc

Aby funkcje i były identyczne, wystarczy, by parametry dodatnie spełniały równania

Drugie równanie ma w liczbach dodatnich jedyne rozwiązanie Dla tej stałej pierwsze równanie przybiera formę z rozwiązaniem Funkcja z tymi parametrami ma wymaganą własność.

[Dla dociekliwych - pytanie: czy to jedyna taka funkcja? Jeśli nie - jak znaleźć wszystkie?]

Podstawienie przeprowadza dane dwa równania do postaci

(1)

oraz

(2)

Oczywiste są nierówności

Jeśli więc liczby spełniają równanie (2), to spełniają też i równanie (1). Pozostaje do wykazania implikacja przeciwna.

Załóżmy więc, że spełnione jest równanie (1), czyli że zachodzi równość w pierwszej z napisanych nierówności. To wymusza jednoczesne zachodzenie trzech równości:

Liczby są długościami boków trójkąta (na płaszczyźnie zespolonej) o wierzchołkach Równość oznacza, że jest on zdegenerowany do odcinka o końcach czyli że punkty leżą na jednej półprostej, wychodzącej z punktu Ta sama konkluzja dla par oraz pokazuje, że wszystkie trzy punk

Uwaga.
Warto może zauważyć, że dwa podane (równoważne) równania nie są równoważne trzeciemu równaniu:

czyli (w terminach zmiennych ) równaniu, łączącemu prawe strony (1) i (2). Prosty przykład: Równania (1) i (2) nie są spełnione, ale ich prawe strony mają jednakową wartość.