Udowodnimy, że taka liczba nie istnieje.

Przyjmijmy oznaczenie Bezpośrednio sprawdzamy, że dla dowolnego zachodzi równość

Ponadto, jeżeli jest dodatnią liczbą całkowitą, to

więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Udowodnimy, że dla każdego zachodzi równość

(*)

co w połączeniu z obserwacją z poprzedniego akapitu zakończy dowód.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla równość jest spełniona. Przypuśćmy, że zachodzi ona dla pewnego ; wówczas

co oznacza, że zachodzi również dla To kończy rozwiązanie.