Ciąg powstaje przez iterowanie funkcji którą będziemy badać na przedziale Ponieważ maleje od wartości do wartości zatem odwzorowuje przedział na siebie i ma w tym przedziale dokładnie jeden punkt stały (tj. taki, że ). Obrazem przedziału jest przedział i na odwrót. Stąd wniosek, że wyrazy ciągu o numerach parzystych należą do jednego z tych przedziałów, a te o nieparzystych - do drugiego.

Równość przepisujemy jako Funkcja jest rosnąca; przy tym

wobec czego

(1)

Ponieważ (z założenia) zatem zaś

Użyjemy rachunku pochodnych. Oznaczmy (dla krótkości): i zauważmy, że Niech Wówczas

i dalej:

(2)

Dla mamy nierówność (por. (1)), więc wyrażenie w nawiasie po prawej stronie (2) ma w tych punktach wartość dodatnią. To znaczy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale ; a ponieważ zatem

(3)

Ciąg leży w przedziale i jest generowany rekurencyjnie wzorem Nierówność (3) pokazuje, że jest to ciąg malejący, i w konsekwencji zbieżny. Jego granica musi być punktem stałym funkcji ; jednak nie ma takiego punktu w przedziale otwartym (nierówność (3)). W takim razie granicą tego ciągu musi być liczba 1.

Funkcja ciągła przeprowadza ten ciąg na ciąg rosnący którego granicą jest wobec tego liczba To dowodzi, że niezależnie od wyboru wyrazu początkowego ciąg ma podciągi zbieżne do dwóch różnych granic: 1 oraz 2 (i do żadnej innej, bo dowolny podciąg ma nieskończenie wiele wspólnych wyrazów z jednym ze znalezionych podciągów, zbieżnych do 1 lub 2).