Zauważmy, że dla całkowitych mamy równość. Ponadto dodanie do dowolnego liczby całkowitej zmienia każdą ze stron nierówności o możemy zatem zakładać, że należy do przedziału Niech dla takich względnie pierwszych liczb całkowitych dodatnich i że Zauważmy, że obie strony nierówności są w przedziale niemalejącymi funkcjami przy czym prawa strona zmienia wartość tylko w punktach Wystarczy więc sprawdzić nierówność tylko dla tych punktów. Niech od tej pory

Dla każdego zachodzi równość dla pewnych jednoznacznie wyznaczonych liczb całkowitych i (dzielimy z resztą przez ). Zauważmy, że liczby są dodatnie: dla bo inaczej dzieliłoby Ponadto te liczby są parami różne - gdy dla to dzieli a stąd W takim razie ciąg jest pewną permutacją liczb Stąd i z nierówności między średnimi dostajemy

Zatem

a stąd