Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Funkcje, Liczby rzeczywiste
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Trójmian kwadratowy»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy
Publikacja w Delcie: październik 2019
Publikacja elektroniczna: 30 września 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)

Rozważmy trójmiany kwadratowe $f(x) = x2 + b x + c 1 1$ i $g(x) = x2 +b x + c , 2 2$ których współczynniki są rzeczywiste i spełniają warunek

2 (c2− c1) + (b1− b2)(b1c2 −c1b2) < 0.

Dowieść, że trójmiany $| f$ i $g$ mają obydwa pierwiastki rzeczywiste, a każdy z nich ma jeden pierwiastek leżący na osi liczbowej pomiędzy pierwiastkami drugiego.

Wskazówka

Równanie $f (x) = g(x)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $c− c x0 = b21− b12 .$ Wówczas

(c2−-c1)2 +-(b1−-b2)(b1c2−-c1b2) f (x0) = g(x0) = (b1− b2)2 < 0.

Wobec tego wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają się tylko w jednym punkcie, leżącym poniżej osi $OX.$ Resztę załatwia własność Darboux.