Liczby, dla których najbliższym kwadratem jest mają postać

(1)

Suma wartości dla tych liczb wynosi Stąd

Dla liczb postaci (1) obliczamy:

Aby ujednolicić zapis, wprowadzamy parametr i wyznaczamy (dla w formie (1)):

(2)

Interesują nas wartości całkowite uzyskanego wyrażenia. Przekształcamy je do postaci

(3)

Dla oraz wychodzą wartości niecałkowite - można je zignorować, ograniczając zakres parametru do Wówczas

Różnica (2) jest więc liczbą całkowitą (równą ) wtedy i tylko wtedy, gdy zaś Gdy ostatni warunek jest spełniony dla trzech par mianowicie

Wniosek: dowolna liczba całkowita jest wartością wyrażenia jedynie dla gdzie zaś jest jedną z trzech powyższych par - czyli, po podstawieniu, dla