Niech oznacza największą z liczb Popatrzmy na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Popatrzmy teraz na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Kontynuując to postępowanie, otrzymujemy ciąg indeksów

Ponieważ nierówność, którą chcemy udowodnić, jest cykliczna, możemy bez utraty ogólności przyjąć, że Z definicji mamy lub Zatem po pewnej liczbie kroków po raz pierwszy otrzymamy lub Ponadto bo w każdym kroku przesuwamy się o co najwyżej dwa. Zauważmy też, że

Stosując teraz nierówność między średnimi, otrzymujemy