Można przyjąć, że Nierówność daną do udowodnienia przepisujemy w równoważnej postaci

Lewa strona nie zmieni się, gdy ją pomnożymy przez liczbę 1, zapisaną (zgodnie z założeniem) jako suma odwrotności liczb :

(*)

Wystarczy teraz wykazać, że ciągi i o wyrazach

są odwrotnie uporządkowane; nierówność Czebyszewa da wówczas dowodzoną tezę

Przyjęliśmy, że więc ciąg jest nierosnący; chcemy pokazać, że ciąg jest niemalejący. Funkcja maleje w przedziale oraz rośnie w przedziale Zatem fragment ciągu który leży w przedziale wyznacza niemalejący fragment ciągu o wyrazach Skoro jednak to w przedziale może leżeć co najwyżej jeden wyraz ciągu czyli liczba Pozostaje dowieść, że wówczas Z założenia więc skąd (po prostym przekształceniu) Stąd, ostatecznie,

To kończy dowód nierówności równoważnej z tezą zadania.