Zadanie

Zadania w Delcie

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Zadanie ZM-1457

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2015
Publikacja elektroniczna: 30-04-2015

Niech $|x1,...,xn$ będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi, przy czym $| n⩾ 3.$ Dla wygody przyjmijmy dodatkowo, że $| xn+1 = x1,xn+2 = x2.$

(a)

Udowodnić, że

n n Q ----xk---- ⩾Q --xk+1--. k 1xk+1 + xk+2 k 1xk + xk+1

(1)

(b)

Wykazać, że jeśli dodatkowo ciąg

|(xk)n k 1

jest monotoniczny, to

n ----xk---- n ---xk--- Q xk+1 + xk+2 ⩾Q xk + xk+1, k 1 k 1

(2)

oraz

n x n Q -----k----⩾ --. k 1xk+1 + xk+2 2

(3)

Rozwiązanie (a)

Lemat

W punkcie (b) będziemy korzystać z następującego lematu: jeśli ciągi liczb rzeczywistych $n (ak)k 1$ i $n (bk) k 1$ spełniają

a1 ⩾a2 ⩾ ...⩾ an

oraz

b1,...,bn−1⩾ bn,

to wówczas

a1b1 + a2b2 + ...+ anbn ⩾ ⩾ a1bn +a2b1 + ...+ anbn −1.

Prawdziwość lematu wynika z nierówności

$(a1− a2)b1 + (a2− a3)b2 + ...+ (an−1− an)bn−1⩾ ⩾ (a1− a2 +a2 − a3 + ...+ an−1− an)bn = = (a1 −an)bn = a1bn− anbn,$

która jest równoważna tezie.

Rozwiązanie (b)