Co to znaczy, że linia prosta jest jednowymiarowa, płaszczyzna – dwuwymiarowa, a przestrzeń, w której żyjemy – trójwymiarowa? Można na to pytanie odpowiedzieć w ten sposób: na prostej możemy poruszać się w jednym kierunku (właśnie wzdłuż tej prostej), na płaszczyźnie – w dwóch niezależnych kierunkach, a w przestrzeni – w trzech (prawo-lewo, przód-tył, góra-dół). (Pozostaje tylko sprecyzować, co to są niezależne kierunki, co nie jest już takie oczywiste.) Mówiąc nieco inaczej, do opisu punktu na prostej wystarczy jeden parametr rzeczywisty (jedna współrzędna), punkty na płaszczyźnie mają dwie współrzędne itd. Matematycy posługują się pojęciem przestrzeni -wymiarowej (dla dowolnej liczby naturalnej ), która jest zbiorem punktów opisanych przez  współrzędnych.

Sytuacja jest trudniejsza, gdy chcemy powiedzieć, jaki jest wymiar bardziej skomplikowanych zbiorów. Naturalne jest przyjąć, że okrąg jest obiektem jednowymiarowym, bo może być sparametryzowany jedną współrzędną (kątem), a sfera (powierzchnia kuli) i torus (powierzchnia dętki) mają wymiar  bo parametryzują się dwiema współrzędnymi kątowymi. Są to przykłady tzw. gładkich rozmaitości, których wymiar jest łatwo określić jako liczbę parametrów potrzebnych do ich opisania. Ogólniej, istnieje pojęcie wymiaru topologicznego, który można zdefiniować dla szerokiej klasy zbiorów (patrz artykuł na stronie 7 bieżącego numeru Delty). Taki wymiar jest zawsze liczbą całkowitą.

Pod koniec XIX wieku w matematyce zaczęły pojawiać się niespotykane wcześniej obiekty geometryczne, charakteryzujące się skomplikowanym kształtem i zjawiskiem „samopodobieństwa” (podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości zbioru). Tego rodzaju zbiory nazywamy dziś fraktalami. Aby lepiej opisać geometrię takich obiektów, wykorzystuje się różne odmiany pojęcia wymiaru, zwane czasami wymiarami fraktalnymi. W odróżnieniu od „zwykłego” wymiaru, mogą one przyjmować wartości niecałkowite. Przyjrzymy się teraz na kilku przykładach, jak można takie wymiary zdefiniować i jak je obliczać.

Jednym z pierwszych fraktali, który pojawił się w matematyce, była krzywa Kocha, zwana też płatkiem śniegu (patrz rysunek). Przykład ten został podany przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha w 1904 roku. Jest to samopodobna krzywa zamknięta bez samoprzecięć, która ma nieskończoną długość i nie ma stycznej w żadnym punkcie. Można zauważyć, że chociaż krzywa Kocha jest topologicznie obiektem jednowymiarowym, to zajmuje „więcej miejsca” na płaszczyźnie niż zwyczajna gładka krzywa. Aby opisać liczbowo to zjawisko, można wprowadzić pojęcie wymiaru samopodobieństwa (ang.  similarity dimension). Zauważmy, że jednowymiarowy odcinek ma następującą własność: dla każdej liczby naturalnej  jest sumą  odcinków o długości  razy mniejszej, o rozłącznych wnętrzach (tzn. stykających się tylko końcami). Każdy z tych odcinków jest obrazem dużego odcinka przy podobieństwie o skali  Mamy więc

gdzie  to skala podobieństwa, a   to liczba przeskalowanych kopii dających w sumie cały zbiór. Spójrzmy teraz na dwuwymiarowy kwadrat: jest on sumą  kwadratów o rozłącznych wnętrzach (stykających się tylko brzegiem), które są obrazami dużego kwadratu przy podobieństwach o skali  Mamy zatem

a więc wykładnik przy skali  w powyższym wzorze to wymiar obiektu (podobnie w poprzednim wzorze wykładnik przy  równy  jest wymiarem odcinka). Dla trójwymiarowej kostki mamy, analogicznie,

dla  i   (kostka jest sumą  kostek o boku  razy mniejszym, o rozłącznych wnętrzach) i znowu wykładnik przy skali  jest równy wymiarowi zbioru. A jak jest dla krzywej Kocha? Wygodnie jest podzielić ją na trzy części (każda powstała z jednego boku dużego trójkąta) i rozpatrzyć każdą z nich osobno. Zauważmy, że taka część jest sumą czterech swoich kopii (stykających się tylko w pojedynczych punktach) przy odpowiednich podobieństwach o skali  (patrz też strona 15). Wynika to wprost z konstrukcji płatka śniegu. Jeśli więc wymiar takiej części byłby równy  to powinno zachodzić

dla  i   czyli

To równanie jest spełnione dla  (zauważmy, że można tu wziąć logarytm o dowolnej podstawie, co nie ma wpływu na wynik). Tę właśnie liczbę  nazywamy wymiarem samopodobieństwa krzywej Kocha. Jest to liczba leżąca pomiędzy  i  co odzwierciedla wysoki „stopień skomplikowania” tej krzywej.

Taki wymiar możemy łatwo obliczyć dla różnych samopodobnych zbiorów, które są sumą kilku swoich kopii o rozłącznych „wnętrzach”, przy podobieństwach o danej skali. Jeśli mamy  takich kopii, a skala jest równa  to ten wymiar jest równy  Na przykład, wymiar samopodobieństwa trójkąta Sierpińskiego jest równy  a dla zbioru Cantora jest on równy  (patrz rysunki).

Możemy jeszcze uogólnić nasz wzór na przypadek, gdy badany obiekt jest sumą  swoich kopii o rozłącznych „wnętrzach”, uzyskanych przez podobieństwa o różnych skalach, powiedzmy  gdzie  Wymiar samopodobieństwa jest wtedy taką liczbą  dla której zachodzi

Taka liczba  zawsze istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie (dlaczego?).

Wadą wymiaru samopodobieństwa jest to, że jest zdefiniowany tylko dla szczególnego rodzaju zbiorów, uzyskanych przez procedury podobne do opisanych powyżej. Dla innych zbiorów potrzebne jest więc ogólniejsze pojęcie wymiaru „fraktalnego”. Zdefiniujemy teraz wymiar pudełkowy (ang. box dimension, box-counting dimension), zwany też wymiarem Minkowskiego lub Minkowskiego–Bouliganda. Oznaczany jest zwykle  lub

Weźmy pod uwagę dowolny ograniczony zbiór  na płaszczyźnie. Dla każdej liczby  istnieje taka liczba naturalna  że możemy pokryć nasz zbiór  kwadratami o boku  (dlaczego?). Niech  będzie najmniejszą taką liczbą  Wtedy wymiar pudełkowy zbioru  jest równy

(podobnie jak poprzednio, ta wartość nie zależy od wyboru podstawy logarytmu). Nietrudno wykazać (jak?), że wynik będzie ten sam, jeśli zamiast dowolnych kwadratów o boku  weźmiemy kwadraty tworzące na płaszczyźnie kratę o boku . Możemy też zastąpić kwadraty kołami o średnicy

Jeśli zbiór jest podzbiorem prostej, to zamiast kwadratów bierzemy odcinki o długości  a jeśli jesteśmy w przestrzeni trójwymiarowej, to kwadraty zastępujemy kostkami o boku  lub kulami o średnicy  Ogólnie, definicję rozszerza się na ograniczone podzbiory przestrzeni -wymiarowej.

Może się zdarzyć, że granica w definicji wymiaru pudełkowego nie istnieje. Wtedy trzeba zastąpić zwykłą granicę przez granicę górną lub dolną, uzyskując tzw. górny lub dolny wymiar pudełkowy.

Można łatwo sprawdzić (jak?), że wymiar pudełkowy odcinka jest równy  kwadrat ma wymiar pudełkowy  i tak dalej. A jaki jest wymiar pudełkowy zbioru Cantora ? Dla  mamy  bo  jest pokryty przez  odcinków o długości  powstałych po  krokach konstrukcji. Z drugiej strony, końce tych wszystkich odcinków należą do zbioru Cantora, a „dziury” między nimi są długości co najmniej  i łatwo zauważyć, że  Mamy więc  więc

co jest równe wymiarowi samopodobieństwa. Pozostawiamy Czytelnikowi sprawdzenie, że przy obliczaniu granicy w definicji wymiaru pudełkowego wystarczy brać  co daje

Podobnie wyznaczamy wymiar pudełkowy trójkąta Sierpińskiego i krzywej Kocha. We wszystkich tych przykładach (i podobnych konstrukcjach) wymiar pudełkowy jest równy wymiarowi samopodobieństwa.

Wymiar pudełkowy nie ma jednak najlepszych własności matematycznych. Na przykład, okazuje się, że wymiar pudełkowy domknięcia zbioru  jest taki sam, jak wymiar samego zbioru  co implikuje w szczególności, że zbiór liczb wymiernych w odcinku  ma wymiar pudełkowy  Przy „porządnej” definicji wymiaru każdy przeliczalny zbiór powinien mieć wymiar zero! Jakie jest więc pojęcie fraktalnego wymiaru, które zadowoli wymagającego matematyka?

Takim wymiarem jest wymiar Hausdorffa, zwany też czasami wymiarem Hausdorffa–Besicovitcha. Jego definicja jest jednak znacznie bardziej skomplikowana niż poprzednie. Omówimy ją teraz.

Niech  będzie dowolnym podzbiorem -wymiarowej przestrzeni  Ustalmy  Weźmy pod uwagę dowolne przeliczalne pokrycie zbioru  to znaczy zbiory  takie że  (Zamiast dowolnych zbiorów można wziąć kule w  to znaczy odcinki na prostej dla  koła na płaszczyźnie dla  zwykłe kule w przestrzeni trójwymiarowej dla  itd.) Dla danej liczby  

gdzie  oznacza średnicę zbioru, a infimum jest wzięte po wszystkich takich pokryciach  zbioru  że  dla wszystkich  Bierzemy teraz

Ta granica zawsze istnieje (być może równa ), bo  maleje przy wzroście  Liczbę  nazywamy -tą miarą ( zewnętrzną) Hausdorffa zbioru  Okazuje się, że istnieje taka liczba  że  dla wszystkich  i   dla wszystkich  Tę liczbę  nazywamy wymiarem Hausdorffa zbioru  i oznaczamy  lub Dla   miara Hausdorffa jest równoważna „zwykłej” mierze Lebesgue’a w

Wymiar Hausdorffa ma dobre właściwości matematyczne. Można sprawdzić, że  i   dla każdego przeliczalnego zbioru  Poza tym,  dla każdej gładkiej rozmaitości -wymiarowej  Mamy też  dla dowolnych zbiorów  Wadą wymiaru Hausdorffa jest to, że zazwyczaj jest trudny do obliczenia! Już obliczenie tego wymiaru dla zbioru Cantora nastręcza trudności, a przypadek trójkąta Sierpińskiego czy krzywej Kocha wymaga zastosowania odpowiednich narzędzi z geometrycznej teorii miary, teorii potencjału lub transformaty Fouriera. Pewnym ułatwieniem jest nierówność

która zachodzi dla wszystkich zbiorów  (jeśli granica w definicji wymiaru pudełkowego nie istnieje, to bierzemy dolny wymiar pudełkowy). W przypadku zbioru Cantora, krzywej Kocha i trójkąta Sierpińskiego mamy równość wymiarów Hausdorffa i pudełkowego, jednak taka sytuacja nie zawsze zachodzi.

Wolfgang Beyer / wikipedia

W 1991 roku Mitsuhiro Shishikura udowodnił, że brzeg zbioru Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy

Odnotujmy jeszcze ważne twierdzenie Szpilrajna, mówiące o tym, że wymiar Hausdorffa jest większy lub równy wymiarowi topologicznemu. Z tego powodu fraktale można zdefiniować jako zbiory, dla których ta nierówność jest ostra.

Jest jeszcze kilka innych wymiarów fraktalnych, takich jak wymiar Rényi, wymiar korelacyjny czy wymiar pakujący, ale nie będziemy tu o nich mówili.

Na koniec odpowiemy na pytanie zawarte w tytule: jak może wyglądać zbiór -wymiarowy? Aby zdefiniować taki zbiór, przeprowadzimy konstrukcję podobną jak dla zbioru Cantora, z tym że w każdym kroku będziemy zmieniać liczbę wyjętych odcinków i skalę zmniejszania. Niech dla każdej liczby naturalnej  zbiór  składa się z  rozłącznych odcinków o długości  każdy, rozłożonych tak, że odległości między środkami kolejnych odcinków są równe  Definiujemy zbiór „typu Cantora” jako  Okazuje się, że jeżeli liczby  rosną dostatecznie szybko wraz ze wzrostem  to wymiar Hausdorffa zbioru  jest równy Nie dowodzimy tutaj tego, zauważmy tylko, że

Wtedy zbiór  (iloczyn kartezjański zbioru  i przestrzeni trójwymiarowej), zawarty w przestrzeni czterowymiarowej, ma wymiar Hausdorffa równy