Jak się mierzy objętość nitką?
Czy przyszło Wam kiedyś do głowy, drodzy Czytelnicy, mierzyć nitką objętość? Albo pole?
Nie chodzi nam tu o czyjeś mgliste domysły w rodzaju Ta paczka musi być
olbrzymia, skoro Ciocia Hela zmarnowała trzy kłębki sznurka, żeby ją
obwiązać. Nie zadowala nas również odpowiedź Oczywiście –
mogę wymierzyć nitką mój pokój; jest to prostokąt o bokach
i
, więc jego pole jest równe
Chodzi nam o swoistą
czarną skrzynkę, która pozwoliłaby określać objętość wszelkich
rozsądnych przedmiotów poprzez odczytywanie długości pewnych
odcinków.
Oto zarys pomysłu: spróbujmy przez chwilę pomarzyć i wyobraźmy sobie idealną, doskonale elastyczną i nieskończenie cienką nitkę, na której naniesiono podziałkę do mierzenia długości. Wyobraźmy sobie następnie, że owa nitka zostaje bardzo gęsto upakowana we wnętrzu sześcianu – jakiś Dzielny Krawczyk, skądinąd znacznie dzielniejszy niż bohater znanej baśni braci Grimm, rozciąga ją do woli (wraz z podziałką!) i, wywijając igłą, układa przemyślnie w coraz dziwniejsze esy-floresy, w taki sposób, że koniec końców powykręcana nitka przechodzi przez każdą drobinę wnętrza sześcianu, przez każdy milimetr i nanometr sześcienny, o którym Czytelnik w ogóle zdoła pomyśleć. Objętość mierzymy w następujący sposób: jeśli pewna część sześcianu jest wypełniona, powiedzmy, czerwonym barwnikiem, to trzeba odczytać z podziałki, jaka była łączna długość (uwaga: wyjściowa długość, przed rozciąganiem!) zabarwionych na czerwono kawałków nitki – i ta łączna długość jest równa objętości czerwonego barwnika. W ogóle nie jest ważne, gdzie się barwnik znajduje, ile go jest i jaki kształt ma wypełniona przezeń część sześcianu. Brzmi to zaskakująco, niemal magicznie, a mimo to jest możliwe, w tym samym abstrakcyjnym i całkowicie niefizycznym sensie, w jakim możliwych jest tak wiele cudownych rzeczy w matematyce.

Rys. 1

Rys. 2
Oto nieco dokładniejszy, rysunkowy opis sposobu, w jaki mierzy się objętość dowolnych podzbiorów sześcianu za pomocą nitki.
Na rysunku 1 przedstawiona jest elastyczna nitka z podziałką. Nitka to po prostu odcinek długości 1.

Rys. 3
Rozciągamy nitkę (rys. 2); podziałka rozciąga się wtedy nierównomiernie. W istocie jeden z końców nitki rozciągamy tak bardzo, że nitka staje się nieskończenie długa.
Rozciągniętą nitkę w odpowiednio przemyślany sposób gęsto upychamy w sześcianie (rys. 3). Teraz wyobraźmy sobie, że chcemy zmierzyć objętość pewnej – skądinąd całkowicie dowolnej i być może bardzo nieregularnej części sześcianu.

Rys. 4
Nie ruszając nici wypełniamy tę część, której objętość chcemy zmierzyć, barwnikiem (rys. 4). Fragmenty nitki znajdujące się w obszarach wypełnionych barwnikiem zabarwią się.
Następnie wyciągamy z sześcianu pobrudzoną barwnikiem nić i obkurczamy do pierwotnego wymiaru. Zabarwione części i rozciągnięta podziałka też się obkurczą. Teraz, już po obkurczeniu, mierzymy łączną długość zabarwionej części nici. Wynik jest równy objętości obszaru wypełnionego barwnikiem – a ułożenie nici było tak przemyślne, że zupełnie nie ma znaczenia, jaki kształt miał ów obszar!
Zanim Czytelnicy zaczną twierdzić, że zupełnie postradaliśmy zmysły,
porzućmy przenośnie i potoczne opisy, by sformułować czysto matematyczne
pytanie, co pozwoli uniknąć nieporozumień i błędnych interpretacji. Pytamy
mianowicie, czy istnieje ciągłe i różnowartościowe odwzorowanie
, gdzie
oznacza wnętrze sześcianu o krawędzi 1
w przestrzeni trójwymiarowej, o następującej własności: dla dowolnego
otwartego podzbioru
długość
przeciwobrazu
jest równa objętości
Dwa akapity wyżej zbiór
był opisany jako część sześcianu wypełniona czerwonym barwnikiem.
Odwzorowanie
to nasza idealna nić; wymóg, by
było
różnowartościowe, jest naturalny: wszak prawdziwa nitka nie ma
samoprzecięć. Wreszcie, „wyjściowa długość zabarwionych kawałków
nitki” to właśnie liczba
Odpowiedź na tak postawione pytanie jest, jak się okazuje, twierdząca.
Twierdzenie (o nitce). Istnieje ciągłe i różnowartościowe przekształcenie

takie że liczba
jest równa objętości zbioru
dla
każdego otwartego
Wymiar 3 można zastąpić dowolnym innym wymiarem
; teza
twierdzenia pozostanie prawdziwa (trzeba tylko oczywiście zastąpić zwykłą
objętość objętością
-wymiarową).
Twierdzenie o nitce jest dość prostym i bezpośrednim wnioskiem ze starego, pięknego twierdzenia, które w 1941 roku udowodnili John von Neumann, John Oxtoby i Stanisław Ulam. Dla Czytelników, którzy mają za sobą podstawowy wykład teorii miary i całki Lebesgue’a, przytaczamy niżej drobnym drukiem sformułowanie tego wyniku. Pozostali Czytelnicy muszą, niestety, zadowolić się następującą niezbyt precyzyjną interpretacją fizyczną:
jeśli sześcian jednostkowy
jest wypełniony plastyczną substancją
o całkowitej masie
w taki sposób, że masa substancji znajdującej się
w dowolnym otwartym podzbiorze sześcianu jest dodatnia, a masa dowolnego
pojedynczego punktu jest równa zeru, to można ową substancję w sposób
ciągły i różnowartościowy zdeformować tak, by po deformacji gęstość
substancji była stała i równa
O początkowej gęstości celowo nie wspominamy: cały dowcip i siła twierdzenia von Neumanna, Oxtoby’ego i Ulama polega na tym, że substancja może być rozłożona w sześcianie w tak dziwaczny i zawiły sposób, że gęstości rozkładu masy w ogóle nie można rozsądnie określić. I właśnie dlatego zachodzi twierdzenie o nitce.
Twierdzenie ((von Neumann, Oxtoby, Ulam)). Niech
będzie
miarą borelowską na
-wymiarowej kostce jednostkowej
,
taką że
,
dla wszystkich punktów
,
i wreszcie
dla wszystkich
zbiorów otwartych
. Istnieje wówczas homeomorfizm
taki
że
-wymiarowa miara Lebesgue’a
dla
każdego zbioru borelowskiego
. Ponadto,
My zadowolimy się stwierdzeniem, że istnienie „nitki do pomiaru objętości” jest jeszcze jednym, jakże dobitnym, świadectwem wielkiej subtelności najbardziej podstawowych pojęć współczesnej analizy matematycznej: liczby rzeczywistej, ciągłości, miary. Pojęć, bez których nie do pomyślenia jest nie tylko owa nitka, ale i daleko praktyczniejsze i poważniejsze sprawy: teoria sprężystości, mechanika ośrodków ciągłych, przetwarzanie oraz kompresja obrazów i inne, bardzo różnorodne, zastosowania analizy matematycznej.
Stanisław Ulam, 1909–1984
Jeden z młodszych przedstawicieli przedwojennej Polskiej Szkoły Matematycznej; doktorat uzyskał w 1933 roku we Lwowie, pod opieką Stefana Banacha.
Z Polski wyjechał na stałe w sierpniu 1939 roku; w 1943 roku przyjął obywatelstwo amerykańskie. W USA wykładał m.in. na uniwersytetach Harvarda, Wisconsin i Południowej Kalifornii. Najpowszechniej jest jednak znana jego praca w Laboratorium Narodowym w Los Alamos, gdzie wspólnie z fizykiem Edwardem Tellerem rozwiązał kluczowe kwestie, umożliwiające budowę bomby wodorowej. Ulam jest także autorem metody Monte Carlo, szeroko wykorzystywanej w analizie numerycznej.
Wspólną pracę z Oxtobym uważał za jedno ze swych najbardziej wartościowych osiągnięć.
Kto chciałby o Ulamie wiedzieć więcej, powinien przeczytać jego Przygody matematyka, wydane po polsku w 1996 roku.