Z podanych warunków wynika od razu, że jest różnowartościowym odwzorowaniem przedziału na cały ten sam przedział. Ma więc funkcję odwrotną; a skoro zatem funkcja jest tą odwrotną do (Łatwo uzasadnić ciągłość obu funkcji - ale ta wiedza nie będzie tu potrzebna).

Dalszy ciąg rozumowania to starogreckie "patrz(!)". Rysunek przedstawia wykres (przykładowej) funkcji leżący w kwadracie którego dwoma bokami są odcinki na poziomej i pionowej osi układu współrzędnych. Ta sama krzywa jest też wykresem funkcji gdy przyjmiemy, że (rozważając ) odkładamy zmienną niezależną na osi pionowej, a zależną na poziomej.

Niech będzie wielokątem powstałym z połączenia prostokątów, których podstawami są odcinki osi poziomej a wysokości wynoszą kolejno Analogicznie tworzymy wielokąt rozważając funkcję i zamieniając role osi współrzędnych.

Wielokąty i są (prawie) rozłączne - mogą mieć wspólne jedynie niektóre wierzchołki. Uzasadnienie: jeśli punkt należy do to znaczy, że dla pewnego zachodzą nierówności ; jeżeli ten sam punkt należy do to dla pewnego mamy ; stąd

Zauważmy wreszcie, że kwadracik o boku mający wierzchołek w punkcie nie ma punktów wspólnych ani z wielokątem ani z Po jego usunięciu z kwadratu pozostaje figura o polu ; figury i są w niej zawarte, ale nie wypełniają jej szczelnie, skoro nie mają wspólnych fragmentów boków (poza wierzchołkami).

Pole wielokąta wynosi ; pole wynosi Suma tych pól jest mniejsza niż Mnożymy uzyskaną nierówność przez i mamy tezę zadania.

(Stała jest optymalna; nierówność staje się bliska równości, gdy wykres funkcji zbliża się do odpowiednio dobranej linii łamanej, utworzonej z odcinków poziomych i pionowych).