Rozważane wyrażenie oznaczmy literą (stale zakładamy, że wszystkie mianowniki są dodatnie). Dwukrotnie stosujemy nierówność między średnimi (po drodze przegrupowując czynniki):

Ponownie używając nierówności między średnimi (wartości i ), dostajemy oszacowanie

czyli Stąd i z analogicznego oszacowania dla trójek uzyskujemy kontynuację wcześniejszego ciągu nierówności:

(bo z założenia). Znaleziona wartość zostaje osiągnięta, gdy wszystkie nierówności stają się równościami; więc gdy oraz

przy czym te trzy wartości też muszą być równe(!). To wymusza równości oraz Ponadto - oznaczając krótko (i podobnie ) - musimy mieć równość (do takiej pary też była stosowana nierówność między średnimi) - czyli Wraz z równością daje to alternatywę: lub Dla czwórek oraz wyznaczone oszacowanie przechodzi w równość. Zatem szukane minimum wynosi