Co to jest?

Zbiory niemierzalne

Korzenie teorii miary sięgają tak podstawowych pojęć, jak długość (np. odcinka), pole (np. koła) i objętość (np. kuli). Wraz z rozwojem matematyki konieczne stało się uogólnienie tych pojęć w taki sposób, żeby dało się "zmierzyć" coraz bardziej skomplikowane podzbiory danej przestrzeni - na przykład prostej rzeczywistej $R;$ do której w tym artykule ograniczymy nasze rozważania.

Takie uogólnienie, czyli właśnie miara, ma więc być funkcją $|m,$ określoną na pewnej rodzinie $𝒜$ podzbiorów prostej (tych, które z jej pomocą dadzą się "zmierzyć") i przypisującą im wartości rzeczywiste nieujemne oraz $|+∞ .$ Oczywiście, chcielibyśmy przy tym, żeby mało skomplikowane zbiory, np. odcinki, należały do rodziny $𝒜$ i miara $m$ przypisywała im ich długości. Ponadto, miara zbioru nie powinna zależeć od jego położenia na prostej, tzn. miara zbioru nie powinna się zmienić po jego przesunięciu; mówimy wówczas, że $m$ jest niezmiennicza na przesunięcia. Wreszcie, miara sumy dwóch rozłącznych zbiorów powinna być równa sumie ich miar; mówimy wówczas, że funkcja $m |$ jest skończenie addytywna. Z uwagi na zastosowania w teorii całki i rachunku prawdopodobieństwa żąda się od miary więcej: miara sumy dowolnego ciągu zbiorów, z których każde dwa są rozłączne (czyli zbiorów parami rozłącznych), równa jest sumie miar tych zbiorów; tę własność miary nazywamy przeliczalną addytywnością.

W roku 1902 Lebesgue wprowadził pojęcie miary, powszechnie uznawane za satysfakcjonujące narzędzie, pozwalające "mierzyć" zbiory, pojawiające się w analizie matematycznej. Miara Lebesgue'a określona jest na rodzinie $ℒ$ zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, która jednak nie obejmuje wszystkich podzbiorów prostej: istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Co więcej - i to jest znacznie bardziej zaskakujące - dla dowolnej miary $|m$ o dziedzinie $𝒜$ (spełniającej powyższe warunki) istnieje zbiór taki $|A ⊂ R,$ że $A /∈ 𝒜.$ Wynika to z następującego twierdzenia o paradoksalnym rozkładzie przedziału, udowodnionego przez Banacha i Tarskiego w roku 1924.

Twierdzenie (Banach, Tarski). Przedział $|[0, 1]$ można podzielić na parami rozłączne zbiory $A0, A1, A2, ...$ w taki sposób, że pewne ich przesunięcia $|t + A , t +A , t + A ,... 0 0 1 1 2 2$ też są parami rozłączne i w sumie dają przedział $[0,2].$

Oczywiście, takie "cudowne podwojenie długości" nie byłoby możliwe, gdyby wszystkie zbiory $Ai$ należały do $𝒜$ - co najmniej jeden z nich jest więc niemierzalny względem $|m$ .

Nie istnieje zatem miara, która mierzyłaby wszystkie podzbiory prostej, przypisując odcinkom ich długości i spełniając zarazem warunki przeliczalnej addytywności oraz niezmienniczości na przesunięcia. Sytuacja jest jednak inna, jeśli decydujemy sie na osłabienie któregoś z tych warunków.

I tak, w roku 1923 Banach udowodnił

Twierdzenie (Banach 1923). Istnieje niezmiennicza na przesunięcia i skończenie addytywna funkcja $m, |$ określona na rodzinie $|𝒫(R)$ wszystkich podzbiorów prostej i przypisująca każdemu zbiorowi, należącemu do $|ℒ,$ jego miarę Lebesgue'a (czyli przedłużająca miarę Lebesgue'a).

Z kolei, jeśli rezygnujemy z niezmienniczości na przesunięcia, to można rozważać hipotezę, że istnieje przeliczalnie addytywna miara określona na $|𝒫(R)$ i przedłużająca miarę Lebesgue'a. Hipoteza taka, eliminująca w pewnym sensie problem zbiorów niemierzalnych, jest bardzo ciekawa, a jej konsekwencje stanowią żywy przedmiot badań. W szczególności, pociąga ona za sobą negację pewnych innych hipotez, dotyczących wszystkich podzbiorów prostej, w tym, jak pokazali Banach i Kuratowski w roku 1929, hipotezy continuum (więcej o hipotezie continuum można przeczytać w artykule Delty Miara liczności).

Wchodzimy tu więc w obszar teorii zbiorów, czyli teorii mnogości. Nie powinno to budzić zdziwienia, skoro rozważania dotyczą wszystkich podzbiorów prostej - to właśnie od aksjomatów teorii mnogości zależy, istnienie jakich zbiorów uznajemy. W szczególności, w roku 1970 Solovay pokazał, że za istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a odpowiedzialny jest tzw. aksjomat wyboru. Rezygnując z aksjomatu wyboru, moglibyśmy radykalnie pozbyć się problemu zbiorów niemierzalnych, przyjmując po prostu, że każdy podzbiór prostej jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Ponieważ jednak aksjomat wyboru jest niezbędnym narzędziem w wielu działach matematyki, takie rozwiązanie jest nie do przyjęcia.