Dla ustalonego, skończonego zbioru punktów na płaszczyźnie wyrażenie

jest wielomianem zmiennej Aby wykazać, że jest to wielomian stale równy wystarczy sprawdzić, że żądana równość zachodzi dla liczb w przedziale

Rozważmy losowe kolorowanie każdego z danych punktów na biało lub czarno. Załóżmy przy tym, że dowolny punkt malujemy na biało z prawdopodobieństwem na czarno z prawdopodobieństwem oraz że wszystkie losowania odbywają się niezależnie. Zauważmy, że wówczas dla ustalonego wielokąta liczba jest prawdopodobieństwem zdarzenia, w którym wszystkie wierzchołki zostały pomalowane na biało, a punkty leżące na zewnątrz na czarno. Co więcej, dla dwóch różnych wielokątów tego typu zdarzenia wykluczają się wzajemnie. Dla dowolnych dwóch różnych wielokątów wypukłych istnieje bowiem wierzchołek jednego z nich, który nie należy do drugiego. Gdyby opisane zdarzenia nie były rozłączne, to wierzchołek ten musiałby być pomalowany na dwa kolory, co jest, oczywiście, niemożliwe.

Suma

jest w tej sytuacji prawdopodobieństwem zdarzenia, w którym wierzchołki jednego z wielokątów ze zbioru zostały pomalowane na biało, zaś punkty leżące na zewnątrz na czarno. Do rozwiązania zadania wystarczy więc stwierdzić, że jest to zdarzenie pewne - co oznacza, że w dowolnym pokolorowaniu taki wielokąt istnieje.

Szukanym wielokątem jest wielokąt będący otoczką wypukłą białych punktów - czyli najmniejszym wielokątem wypukłym, który zawiera punkty białe (w przypadku gdy liczba punktów białych jest równa lub ich otoczką wypukłą jest odpowiednio zbiór pusty, punkt i odcinek). Jego wierzchołki są koloru białego, a każdy inny punkt biały znajduje się w jego wnętrzu.