Leibniz i Calculus

W marcu 1672 roku do Paryża przybył z misją dyplomatyczną od elektora mogunckiego młody prawnik, filozof i erudyta Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Spotkanie z Christiaanem Huygensem (jesienią 1672 r.) przekonało Leibniza, że w matematyce jest nowicjuszem. Huygens, chcąc zbadać matematyczną przenikliwość Leibniza, rzucił mu takie oto wyzwanie: wyznaczyć sumę szeregu $1 + 1+ 1 + 1-+ 1-+ ⋯ 3 6 10 15$ Leibniz zadanie wykonał (a Ty? rozwiązanie jest tutaj)...

Sukces rozpalił jego zainteresowanie matematyką. Szczęśliwym trafem od stycznia do marca 1673 roku Leibniz przebywał w Londynie (drugi raz był tam w 1676 r.). Podczas tego pobytu nauczył się wiele o szeregach nieskończonych, studiował Lectiones geometricae Isaaca Barrowa z 1670 r., a za pośrednictwem Johna Collinsa zapoznał się z manuskryptem De analysi per equationes numero terminorum infinites Isaaca Newtona z 1669 r. Rozmawiał z Robertem Hooke'iem, Robertem Boylem, Johnem Pellem, a w Royal Society zademonstrował swoją maszynę rachunkową (lepszą od stworzonej przez Blaise Pascala). Po powrocie do Paryża, za namową Huygensa, Leibniz studiował prace Bonaventury Cavalieriego, Jamesa Gregory'ego, René Descartesa i Blaise Pascala. Tak wspominał odkrywanie swoich matematycznych możliwości: "byłem gotów radzić sobie bez jakiejkolwiek pomocy, ponieważ dzieła matematyczne czytałem prawie tak, jak inni czytają romanse". W Paryżu zainteresował się problemem zmienności: jak szybko zmienia się określona wielkość, i odwrotnie, jak na podstawie tempa zmiany pewnej wielkości określić jej wartość. Jesienią 1675 roku Leibniz znał już "nową metodę" - to co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Dostrzegł, że wyznaczenie stycznej do krzywej zależy od stosunku różnic rzędnych i odciętych, gdy te stają się nieskończenie małe.

Niech $| f$ będzie funkcją rzeczywistą, patrz rysunek 1 Każdej wartości $|x,$ w której funkcja $| f$ ma styczną, odpowiada wartość $|tg φ,$ gdzie $|φ$ jest kątem nachylenia tej stycznej do kierunku osi $. OX$ Tak określoną nową funkcję nazywamy pochodną funkcji $| f.$ Oznaczmy ją symbolem $d f |dx$ lub $d f .$ Działanie polegające na obliczeniu pochodnej nazywamy różniczkowaniem. Załóżmy, że krzywa $f$ posiada w ustalonym punkcie $|P(x, f(x))$ styczną (Rys. 1). Niech punkt $Q(x$ będzie punktem zmiennym. Wówczas

Q−MP QR-- N--------- f(x-+-h)-− f-(x) N PR = M = h tgφ , gdy h 0.

Dla przykładu, ponieważ

n n n n−1 n n n− 1 (x + h) − x = x + nx h+ ...+ h −x = nx h +...,

gdzie dalsze wyrazy zawierają wyższe potęgi przyrostu $|h,$ więc

(x +-h)n-−-xn n−1 h nx , gdy h 0.

Pochodną funkcji $xn$ jest więc funkcja $|dxn = nxn −1,$ która przedstawia chwilowe tempo zmian wielkości $|xn.$ Do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji Leibniz zaproponował postępowanie algorytmiczne oparte na wykorzystaniu wzorów ( $f$ i $g$ to funkcje rzeczywiste, $A$ to liczba rzeczywista):

$d(A d( f) = d f-⋅g-− f-⋅dg-, d(f (g)) = (d f) ⋅(dg). g g ⋅g$

Operacją w pewnym sensie odwrotną do różniczkowania jest znajdowanie dla danej funkcji $| f$ takiej funkcji $, Φ$ aby $= f. d Φ$ Na przykład dla funkcji $n | f(x) = x$ możemy odgadnąć, że $1n+1 (x)=n+1x, |Φ$ bo $1 |d(n+1 xn+1) = xn.$ Procedurę znajdowania takich funkcji $Φ$ nazywamy całkowaniem i zapisujemy $|p xndx = -1-xn+1 + c, n+1$ gdzie $c$ jest dowolną stałą.

Kluczowe w rozumowaniu Leibniza (i Newtona) było odkrycie zależności między pochodną funkcji pola a krzywą, która to pole ogranicza (Rys. 2). Niech $| f$ będzie funkcją ciągłą. Oznaczmy pole figury krzywoliniowej $OOP$ przez $(x), |Φ$ a pole figury krzywoliniowej $MO |OP$ przez $(x+h).Φ$ Wówczas

$pict$

gdzie $λ (h)$ oznacza odległość pewnego punktu z łuku $P Q$ od prostej $|PR.$ Ponieważ $f$ jest funkcją ciągłą, więc jeśli $h 0,$ to $|λ(h) 0.$ Zatem

(x+h)−Φ(x) Φ--------------- f(x), gdy h 0. h

Oznacza to, że rzędna krzywej jest pochodną funkcji pola pod tą krzywą. Aby obliczyć pole $O OP$ pod krzywą $f ,$ wystarczy wskazać taką funkcję $, Φ$ aby $(x)= f(x),dΦ$ oczywiście przy założeniu, że $(0)=0. |Φ$ Symboliczny zapis tej procedury Leibniz podał 11 listopada 1675 roku w postaci: $O()pole OP .$

Jednym z pierwszych rezultatów "nowej metody" Leibniza jest niezwykła kwadratura koła. Uwagę Leibniza zwrócił rysunek Pascala nieskończenie małego trójkąta o bokach $|dx,dy, ds.$ Pascal wyznaczył pole pod nieskończenie małym łukiem, zastępując łuk odcinkiem $|ds$ stycznej (Rys. 3).

Leibniz zaproponował takie rozwiązanie: na okręgu $(x −1)2 + y2 = 1,$ czyli $|x2 + y2 = 2x,$ rozważmy punkt $|P(x,y)$ i leżący na stycznej (nieskończenie blisko) punkt $Q(x$ Trójkąt $| PQR$ jest podobny do trójkąta $| T PD$ i do $TOW$ więc

dy PD y − z dy ---= ----= -----, skąd z = y −x---. dx T D x dx

Ponieważ $z ds |h = dx ,$ więc $hds = zdx$ i $|(pole OP$ jest równe połowie pola nieskończenie wąskiego prostokąta o bokach $z$ i $dx$ (i wierzchołku $|D$ ) leżącego pod krzywą $z = y − x dy-. dx$

Zatem pole odcinka koła $|OPAO,$ jako suma pól nieskończenie wąskich trójkątów, jest równe połowie pola pod krzywą $z | = y− x dy dx$ : $|(pole odcinka OPAO)$ W tej sytuacji pole czwartej części koła jednostkowego jest równe

π-= (pole OA1) 4

gdzie $dy z = y − x dx-.$ Różniczkując równanie okręgu, Leibniz otrzymał $|2x + 2y dy= 2, dx$ skąd $|dy-= 1−x. dx y$ Wówczas $z = y− x dy= x , dx y$ ale wtedy $2 x2 x2 x |z = y2 = 2x−x2 = 2−x,$ skąd $2z2 |x = 1+z2 .$

Korzystając z oczywistej zależności, przedstawionej na rysunku 4, mamy

$pict$

Rozwijając ułamek $-z2 |1+z2$ w szereg nieskończony za pomocą działań algebraicznych, tak jak robił to Mercator, Leibniz uzyskał szereg

2 -z---= z2− z4 +z6 − z8 + ..., 1+ z2

a całkując go wyraz po wyrazie, otrzymał

$1 2 1 1− q --z-- dz = 1− q (z2 −z4 +z6 − z8 + ...)dz = 0 1+ z2 0 1-3 1-5 -1 7 -1 9 1- 1- 1- 1- = 1 −( 3 z − 5 z + 7 z − 9 z + ...) = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 −... z 1$

Dodatkowo Leibniz wiedział, że otrzymany szereg jest zbieżny. Istotnie,

1 1 1 1 1 S2n = (1− -) + (--− -) + ... +( ------− ------), 3 5 7 2n −3 2n − 1

więc $S2 < S4 < S6 < ...$ i

1 1 1 1 1 S2n = 1− (--− -) −...− ( ------− ------)− ------ < 1, 3 5 2n− 5 2n − 3 2n − 1

zatem $|S2n s,$ gdy $n ∞ .$ Wtedy również $S2n+1 = S2n + 21n+1 s,$ gdy $|n ∞ .$ Ostatecznie Leibniz otrzymał równość:

π- 1- 1- 1- 1- 4 = 1− 3 + 5− 7 + 9 − ...

O swoim odkryciu Leibniz powiadomił Huygensa, szczegółowo opisał swoją metodę w liście z 27 sierpnia 1676 roku przesłanym Newtonowi za pośrednictwem H. Oldenburga (sekretarza Royal Society). W odpowiedzi, w liście do Oldenburga z 24 października 1676 roku, Newton pisał: "metoda Leibniza otrzymania szeregu zbieżnego [do $π |4$ ] jest z pewnością bardzo elegancka i wystarczająco ujawnia geniusz jej autora, nawet jeśli nie napisze on nic więcej". Jednak na prośbę Leibniza o ujawnienie swoich metod Newton pisał:

Podstawy tych operacji są w istocie dość oczywiste, ale ponieważ nie mogę kontynuować wyjaśnienia tego teraz, wolałem to ukryć:

6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx.

Na tym fundamencie próbowałem również uprościć teorie, które dotyczą kwadratury krzywych i doszedłem do pewnych ogólnych twierdzeń.

Po powrocie z Paryża, w październiku 1676 roku, Leibniz pozostał w służbie księcia Hanoweru. Zajmował się biblioteką, genealogią, prawodawstwem, techniką, dyplomacją, ale przede wszystkim był filozofem. Był inicjatorem utworzenia Akademii Nauk w Berlinie (11 lipca 1700 r.) i jej pierwszym przewodniczącym. W swoich działaniach dążył do pogodzenia wiary i rozumu, religii i nauki, idealizmu z materializmem. Prowadził ożywioną korespondencję z ponad 600 osobami. Zachowało się około 15 tysięcy jego listów, w istocie esejów.

Po Elementach Euklidesa rachunek różniczkowy i całkowy pozostaje największym osiągnięciem matematyki. To dzięki niemu wiemy, że świat funkcjonuje zgodnie z pewnymi zasadami matematyki i fizyki, które umożliwiają przewidywanie wyników określonych działań. Newton pierwszy odkrył rachunek różniczkowy i całkowy, w latach 1664-1666, podchodząc do problemu kinematycznie, ale z ogłoszeniem swoich wyników zwlekał. Leibniz, niezależnie od Newtona, odkrył rachunek różniczkowy i całkowy później, w latach 1672-1676, na drodze rozważań algebraiczno-geometrycznych. Leibniz (pomijając korespondencję, gdzie uczynił to jeszcze wcześniej) pierwszy ogłosił pracę o rachunku różniczkowym Nova methodus pro maximis et minimis,... w "Acta Eruditorum" 3 (1684), 467-472, oraz pierwszą pracę o rachunku całkowym De geometria recondita et analysi… w "Acta Eruditorum" 5 (1686), 292-300. Newton zrobił to dopiero w traktacie De quadratura curvorum z 1704 r., a praca Newtona The Method of Fluxions (1736) ukazała się niemal dziesięć lat po jego śmierci. Dodatkowo metoda Leibniza była bez porównania lepiej opracowana (trafnie dobrana symbolika, nazewnictwo) i do dziś jest używana.

Spór o pierwszeństwo (wywołany przez przesadnie patriotycznych przyjaciół Newtona) na całe stulecia zatruł relacje między matematykami z wysp i z kontynentu. Drogą wytyczoną przez Leibniza poszli uczeni tej miary co Jacob Bernoulli (ur. 1654 r.), Johann Bernoulli (ur. 1667 r.), markiz de L'Hôpital (autor pierwszego podręcznika rachunku różniczkowego i całkowego Analyse des infiniment petits... (Paryż, 1696), napisanego na podstawie wykładów Johanna Bernoulliego). Ich następcy na kontynencie, Leonhard Euler, Joseph Lagrange, Pierre de Laplace, wytyczali dalsze kierunki badań.

Wielkim przegranym okazał się Leibniz, odszedł niezauważony i zapomniany. W luterańskim Neustädter Kirche w Hanowerze znajduje się jego skromne epitafium OSSA LEIBNITII (prochy Leibniza).