Niech  będzie średnią arytmetyczną liczb  Oznaczmy:

Suma liczb napisanych po lewych stronach wynosi 3. Zatem i suma liczb po prawych stronach wynosi 3; a to znaczy, że  Stąd

W nierówności danej do udowodnienia wyodrębniamy pierwszy składnik i szacujemy z góry jego mianownik:

Liczba  jest dodatnia (tu korzystamy z założenia, że ), zatem po prawej stronie ostatniej nierówności mamy również liczbę dodatnią, i wobec tego

Stąd

Mamy też analogiczne oszacowanie dla pozostałych dwóch składników zadanej nierówności. Po dodaniu stronami otrzymujemy (pamiętając, że  oraz ):