O nierównościach typu Diananda–Shapiro

Zacznijmy od przypomnienia zadania 766 z Klubu 44M (Delta 9/2018)...

Powyższy problem można w naturalny sposób sformułować w ogólniejszej postaci. Niech $n ⩾ 3$ będzie liczbą całkowitą oraz $α > 0$ liczbą rzeczywistą. Oznaczmy przez $S(n, α)$ największe ograniczenie dolne wartości sumy

n α Q ( ---xi----) , i 1 xi+1 + xi+2

gdzie $x ,...,x > 0. 1 n$ Wówczas zadanie 766 to pytanie o jak najlepsze oszacowanie $1 |S(5,5)$ z dołu. Co wiadomo w tej kwestii dla ogólnych wartości $n$ i $|α?$

Dla $α = 1$ zagadnienie jest znane jako problem Shapiro. Ma on długą i barwną historię, która rozpoczęła się od zadania zaproponowanego przez Joela Shapiro w 1954 roku na łamach The American Mathematical Monthly, w którym prosił on czytelników magazynu o udowodnienie, że $n |S(n,1) = 2 .$ Okazało się, że zależność ta nie jest prawdziwa; pierwszy kontrprzykład $(n = 20)$ pojawił się w 1956 roku (James Lighthill), w 1985 roku B.A. Troesch zaproponował elegancki kontrprzykład dla $n = 14$ - należy rozważyć ciąg liczb $(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38, 0,40).$ Okazuje się, że jest to najmniejszy (co do $n$ ) możliwy kontrprzykład - hipoteza Shapiro została udowodniona dla parzystych $n ⩽ 12$ oraz nieparzystych $|n⩽ 23.$ Wiadomo również, jaka jest największa stała $, |D$ dla której $nS(n,1)⩾ D$ dla wszystkich $n ⩾ 1.$ Jest to tak zwana stała Drinfelda i wynosi w przybliżeniu $0,494.$ Precyzyjniej, $1 =2ϕ(0), |D$ gdzie $ϕ$ jest największą funkcją wypukłą, która ogranicza z dołu funkcje $e−x$ oraz $|2(ex + ex~2)−1.$ Zatem dla $|α = 1$ znamy kompletną odpowiedź. Szczegóły znajdziemy na przykład w [1] i [2]. Warto przy okazji nadmienić, że Władimir Drinfeld - autor wspomnianej nierówności - był laureatem Medalu Fieldsa w 1990 roku, a niedawno (w 2018 roku) otrzymał Nagrodę Wolfa w dziedzinie matematyki.

Okazuje się, że dla $1+ 5 α ⩾ -2--$ zachodzi nierówność $n |S(n,α )⩾ 2 -,$ zaś równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby w ciągu są równe. Dowód można odnaleźć w [5]. Zatem dla $- |α⩾ 1+--5 2$ też wszystko jest jasne.

Pozostają więc do zbadania przypadki: $- 1 < α < 1+--5 2$ oraz $0 < α< 1.$ Dalej interesować nas będzie tylko ta druga sytuacja. Ustalmy liczby rzeczywiste $|x,y,z > 0$ oraz $0 < α < β ⩽ 1.$ Niech $γ = αβ,$ wówczas $|0 < γ < 1.$ Mamy

x α x γ β xγ β (-----) = ((-----) ) > (-γ---γ) , y +z y + z y +z

bo jeżeli $0 < γ < 1,$ to

x γ x γ (-----) > --γ---γ. y +z y + z

Wobec tego dla wszystkich wykładników $0 < α < β ⩽ 1$ zachodzi nierówność $|S(n,α) ⩾ S(n,β ).$

Z rozwiązania problemu Shapiro i powyższej uwagi wnioskujemy, że dla parzystych liczb $|n ⩽12$ i wszystkich wykładników $|0 < α < 1$ zachodzi $|S(n,α) ⩾ n. 2$ Liczby $|n 2$ nie można tu zastąpić liczbą większą, wystarczy bowiem rozważyć 1, 0, 1, 0, …, 1, 0. Zatem dla parzystych liczb $|n⩽ 12$ i wszystkich wykładników $|0 < α ⩽ 1$ mamy pełną odpowiedź: $|S(n,α) = n2 .$

Rozumując podobnie jak w firmowym rozwiązaniu zadania 766 (zobacz Delta 1/2019), możemy udowodnić nierówność $S(n, α) ⩾⌊ n+21⌋⋅ 12--$ dla wszystkich $n$ i $α .$ Z drugiej strony, rozważając ciąg $|1,0, 1,0,...,1,0$ dla $|n$ parzystych lub $1,1,0, 1,...,0$ (dwie jedynki sąsiadują) dla $|n$ nieparzystych, dostajemy $n+1 S(n, α) ⩽ ⌊2-⌋.$ Ponieważ $|2α$ zbiega do 1, gdy $α$ dąży do 0, więc naturalna jest hipoteza, że dla bliskich 0 wartości wykładnika $|α$ zachodzi $S(n,α ) = ⌊n+1⌋. 2$ Jak zauważyliśmy wyżej, jest ona spełniona dla parzystych $n ⩽ 12$ i wszystkich wykładników $0 < α ⩽1,$ gdyż dla parzystych $n$ mamy $n n+1 -2 = ⌊-2-⌋.$

Dla $n = 3$ oraz $3 0 < α < log22 ≈0,58496$ i dla dowolnych dodatnich liczb $|a,b,c$ prawdziwa jest nierówność

α α α (--a--) + (--b--) + (--c--) > 2. b +c c + a a +b

Jest to udowodnione w [3]. Zatem $S(3, α) = 2$ dla $0 < α⩽ log2 3 . 2$ Oczywiście dla $α > log 3 2 2$ jest $|S(3,α) < 2,$ co widać na przykładzie liczb $|a = b = c = 1.$ Dla $|n = 3$ oraz dla parzystych liczb $|n⩽ 12$ wszystko jest więc jasne.

Na podstawie udowodnionej wyżej nierówności $S(n, α) ⩾ S(n,1)$ dla $|0 < α < 1$ oraz tego, co wiadomo z rozwiązania problemu Shapiro, otrzymujemy, że $n S(n, α) ⩾ 2$ dla liczb nieparzystych $n ⩽ 23$ oraz $n S(n, α)⩾ D$ dla pozostałych wartości $n.$

Kierując się wyłącznie intuicją, postawiłem hipotezę, że $n+1 |S(n,α ) = ⌊-2-⌋$ dla wszystkich $n$ oraz $0 < α ⩽ 12 .$ Nie potrafię tego dowieść dla żadnej liczby $|n$ poza wskazanymi powyżej (czyli dla $n = 3$ oraz parzystych $n ⩽ 12$ ). O sytuacji dla pozostałych wartości $n$ mogę powiedzieć bardzo niewiele. Jedynie dla $n = 5$ (najmniejsza niezbadana wartość $n$ ) udało mi się pokazać, że $S(5,α) = 3$ dla $|0 < α ⩽ 15 ,$ co stanowi pełne rozwiązanie zadania 766. Dowód udostępniony jest na stronie Delty. Będę bardzo wdzięczny za wszelkie uwagi lub związane wyniki. Na przykład dowody nierówności postaci $n |S(n,α) > M> 2$ dla nieparzystych $|n$ i możliwie dużych $α$ (najlepiej $|α> 21$ ) lub ewentualne kontrprzykłady do uczynionych wyżej hipotez. Zapraszam do kontaktu poprzez adres poczty elektronicznej, a także do dyskusji w komentarzach do tego artykułu na stronie Delty. Według mojej wiedzy w literaturze ani w sieci nie ma aktualnie żadnych innych tego rodzaju wyników. Uzyskanie takowych może więc być cenne, w szczególności dla osób zainteresowanych Konkursem Prac Uczniowskich z Matematyki im. Pawła Domańskiego.