O nierównościach typu Diananda–Shapiro
Zacznijmy od przypomnienia zadania 766 z Klubu 44M (Delta 9/2018)...
Powyższy problem można w naturalny sposób sformułować w ogólniejszej postaci. Niech będzie liczbą całkowitą oraz
liczbą rzeczywistą. Oznaczmy przez
największe ograniczenie dolne wartości sumy
![]() |
gdzie Wówczas zadanie 766 to pytanie o jak najlepsze oszacowanie
z dołu. Co wiadomo w tej kwestii dla ogólnych wartości
i
Dla zagadnienie jest znane jako problem Shapiro. Ma on długą i barwną historię, która rozpoczęła się od zadania zaproponowanego przez Joela Shapiro w 1954 roku na łamach The American Mathematical Monthly, w którym prosił on czytelników magazynu o udowodnienie, że
Okazało się, że zależność ta nie jest prawdziwa; pierwszy kontrprzykład
pojawił się w 1956 roku (James Lighthill), w 1985 roku B.A. Troesch zaproponował elegancki kontrprzykład dla
- należy rozważyć ciąg liczb
Okazuje się, że jest to najmniejszy (co do
) możliwy kontrprzykład - hipoteza Shapiro została udowodniona dla parzystych
oraz nieparzystych
Wiadomo również, jaka jest największa stała
dla której
dla wszystkich
Jest to tak zwana stała Drinfelda i wynosi w przybliżeniu
Precyzyjniej,
gdzie
jest największą funkcją wypukłą, która ogranicza z dołu funkcje
oraz
Zatem dla
znamy kompletną odpowiedź. Szczegóły znajdziemy na przykład w [1] i [2]. Warto przy okazji nadmienić, że Władimir Drinfeld - autor wspomnianej nierówności - był laureatem Medalu Fieldsa w 1990 roku, a niedawno (w 2018 roku) otrzymał Nagrodę Wolfa w dziedzinie matematyki.
Okazuje się, że dla zachodzi nierówność
zaś równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby w ciągu są równe. Dowód można odnaleźć w [5]. Zatem dla
też wszystko jest jasne.
Pozostają więc do zbadania przypadki: oraz
Dalej interesować nas będzie tylko ta druga sytuacja. Ustalmy liczby rzeczywiste
oraz
Niech
wówczas
Mamy
![]() |
bo jeżeli to
![]() |
Wobec tego dla wszystkich wykładników zachodzi nierówność
Z rozwiązania problemu Shapiro i powyższej uwagi wnioskujemy, że dla parzystych liczb i wszystkich wykładników
zachodzi
Liczby
nie można tu zastąpić liczbą większą, wystarczy bowiem rozważyć 1, 0, 1, 0, …, 1, 0. Zatem dla parzystych liczb
i wszystkich wykładników
mamy pełną odpowiedź:
Rozumując podobnie jak w firmowym rozwiązaniu zadania 766 (zobacz Delta 1/2019), możemy udowodnić nierówność dla wszystkich
i
Z drugiej strony, rozważając ciąg
dla
parzystych lub
(dwie jedynki sąsiadują) dla
nieparzystych, dostajemy
Ponieważ
zbiega do 1, gdy
dąży do 0, więc naturalna jest hipoteza, że dla bliskich 0 wartości wykładnika
zachodzi
Jak zauważyliśmy wyżej, jest ona spełniona dla parzystych
i wszystkich wykładników
gdyż dla parzystych
mamy
Dla oraz
i dla dowolnych dodatnich liczb
prawdziwa jest nierówność
![]() |
Jest to udowodnione w [3]. Zatem dla
Oczywiście dla
jest
co widać na przykładzie liczb
Dla
oraz dla parzystych liczb
wszystko jest więc jasne.
Na podstawie udowodnionej wyżej nierówności dla
oraz tego, co wiadomo z rozwiązania problemu Shapiro, otrzymujemy, że
dla liczb nieparzystych
oraz
dla pozostałych wartości
Kierując się wyłącznie intuicją, postawiłem hipotezę, że dla wszystkich
oraz
Nie potrafię tego dowieść dla żadnej liczby
poza wskazanymi powyżej (czyli dla
oraz parzystych
). O sytuacji dla pozostałych wartości
mogę powiedzieć bardzo niewiele. Jedynie dla
(najmniejsza niezbadana wartość
) udało mi się pokazać, że
dla
co stanowi pełne rozwiązanie zadania 766. Dowód udostępniony jest na stronie Delty. Będę bardzo wdzięczny za wszelkie uwagi lub związane wyniki. Na przykład dowody nierówności postaci
dla nieparzystych
i możliwie dużych
(najlepiej
) lub ewentualne kontrprzykłady do uczynionych wyżej hipotez. Zapraszam do kontaktu poprzez adres poczty elektronicznej, a także do dyskusji w komentarzach do tego artykułu na stronie Delty. Według mojej wiedzy w literaturze ani w sieci nie ma aktualnie żadnych innych tego rodzaju wyników. Uzyskanie takowych może więc być cenne, w szczególności dla osób zainteresowanych Konkursem Prac Uczniowskich z Matematyki im. Pawła Domańskiego.