Średnie w zawodach studenckich

Czytelnicy Delty zapewne znają zawody matematyczne dla uczniów, takie jak Olimpiada Matematyczna lub Kangur Matematyczny. Nie wszyscy wiedzą jednak, że konkursowe zmagania można kontynuować również podczas studiów. Na niektórych uczelniach odbywają się nawet specjalne zajęcia, podczas których rozwiązuje się i omawia zadania konkursowe.

Przyjrzyjmy się bliżej często używanemu podczas zawodów studenckich twierdzeniu o wartości średniej, przypisywanemu Lagrange'owi.

Twierdzenie (o wartości średniej). Dla funkcji ciągłej $| f [a,b] R$ i różniczkowalnej w przedziale $(a,b)$ istnieje punkt $c$ w przedziale $(a,b)$ taki, że

f(b) − f(a) = f′(c)(b− a).

Inaczej mówiąc, przyrost wartości funkcji wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim.

Równie przydatne jest uogólnienie powyższego twierdzenia, znane jako twierdzenie Cauchy'ego. Mianowicie, dla funkcji ciągłych $| f,g [a,b] R$ i różniczkowalnych w przedziale $|(a, b)$ istnieje punkt $|c$ w przedziale $|(a,b)$ taki, że

′ ′ g(c)( f (b)− f(a)) = f (c)(g(b) −g(a)).

Zauważmy, że biorąc w twierdzeniu Cauchy'ego funkcję $| g(x) = x$ dla każdego $|x,$ uzyskujemy twierdzenie Lagrange'a.

Jesteśmy gotowi, aby zastosować powyższe twierdzenia do rozwiązywania zadań z międzynarodowych zawodów dla studentów. Rozważmy różniczkowalną funkcję $f [0,1] [0,1]$ taką, że $′ f (x) ≠ 1$ dla wszystkich $x$ z przedziału $[0,1].$ Udowodnimy, że równości $| f(α) = α$ i $f(β ) = 1− β$ są spełnione dla co najwyżej jednej pary liczb $|α$ i $β$ z przedziału $[0,1].$ Założywszy, że $f(α ) = α$ i $f (α′) = α′$ dla $′ |0⩽ α < α ⩽ 1,$ z twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy, że istnieje $|c∈ (α,α′)$ takie, że

α ′− α= f (α′) − f(α) = f′(c)(α′− α),

więc $| f′(c) = 1,$ ale to jest sprzeczne z założeniem $| f ′(x) ≠ 1$ dla $|x∈ [0,1].$ Podobnie wykluczamy istnienie dwóch elementów $β$ o własności $| f(β) = 1− β.$ Dowód pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie, Ambitnemu Czytelnikowi proponujemy pokazanie istnienia pary punktów $|α$ i $β$ o powyższych własnościach. W ten sposób zostanie uzyskane rozwiązanie zadania 1. w kategorii I z 22. Zawodów im. Vojtěcha Jarníka.

Okazuje się, że twierdzenie o wartości średniej może zostać zastosowane także do rozwiązywania równań. Rozważmy następujące równanie:

17x + 2x = 11x +23x, x ∈ R.

Rozwiązanie tego równania zostało postawione jako problem 1. w kategorii II podczas $28.$ Zawodów V. Jarníka.

Rozwiązanie rozpoczniemy od prostej obserwacji, że liczba $x = 0$ jest rozwiązaniem powyższego równania. Przyjmijmy zatem, że $x ≠ 0$ również jest rozwiązaniem. Równanie możemy przepisać w następujący sposób:

17x − 11x = 8x− 2x.

(*)

Niech $| f [0,∞ ) R$ będzie funkcją określoną wzorem $| x f(t) = t .$ Funkcja ta spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a na odcinku $|[2,8].$ Zatem istnieje taka liczba $|t1∈(2,8),$ że

(8− 2) f ′(t1) = f(8) − f(2) = 8x − 2x.

Funkcja ta spełnia również założenia tegoż twierdzenia na odcinku $|[11,17],$ więc istnieje liczba $t2∈ (11,17)$ spełniająca zależność

′ x x (17− 11) f (t2) = f (17)− f(11) = 17 − 11.

Zauważmy, że $|t < t . 1 2$ Podstawiając otrzymane zależności (przypomnijmy, że $x$ jest rozwiązaniem) do równania (*), dostajemy równość

′ ′ 6 f (t1) = 6 f (t2),

którą możemy przepisać równoważnie jako

x−1 x−1 6xt1 = 6xt2 .

Ponieważ $|x≠ 0,$ to $x− 1 x−1 |t1 = t2$ i w konsekwencji

x−1 (t1) = 1. t2

Skoro $0 < t1 < t2,$ to $x = 1.$ Łatwo sprawdzić, że $|x = 1$ jest również rozwiązaniem równania. Zatem jedynymi rozwiązaniami są $x = 0$ oraz $|x = 1.$

Twierdzenie o wartości średniej może także przynieść zaskakująco proste rozwiązanie zadania, które początkowo zdaje się wymagać zupełnie innych metod. Wykażemy, że jeśli

n 2i Q ---- ai = 0, i 0i +1

to wielomian $n n−1 |w(x) = anx + an−1x + ...+a1x + a0$ ma dodatni pierwiastek rzeczywisty. To zadanie nie pochodzi wprawdzie bezpośrednio z zawodów matematycznych, ale jest motywowane zadaniem 2.10.1. z bardzo dobrego zbioru zadań: T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges.

Kiedy już wiemy, że chcemy wykorzystać twierdzenie o wartości średniej, to nie pozostaje nic innego, jak znaleźć odpowiednią funkcję. Chcemy udowodnić istnienie punktu, w którym zeruje się dany wielomian, dlatego pierwszym słusznym pomysłem jest rozważenie funkcji

n f(x) = Q -ai-xi+1, i 0 i + 1

której pochodną jest właśnie $w(x).$ Pozostaje zauważyć, że

1- n -2i- f(0) = 0 oraz f(2) = 2 (Q i + 1 ai) = 0. i 0

Zatem na mocy twierdzenia Rolle'a, które jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Lagrange'a dla $| f(a) = f(b),$ wnioskujemy istnienie punktu $|x0∈ (0,2)$ takiego, że $|w(x0) = 0.$

Mamy nadzieję, że przekonaliśmy Czytelnika do tego, że twierdzenia o wartości średniej mogą być bardzo użyteczne podczas rozwiązywania zadań w trakcie międzynarodowych zawodów matematycznych - i nie tylko...