Ciągłość

Ciągłość funkcji - na początku odwołamy się do intuicyjnego rozumienia tego pojęcia, by następnie je uściślić...

Jeśli funkcja rzeczywista określona na przedziale jest ciągła, to jej wykres jest "w jednym kawałku" (można go narysować bez odrywania ołówka od kartki). Funkcje

⎧ 1 1 dla x > 0 ⎪⎪⎪-- dla x > 0 f1(x) = {−1 dla x⩽ 0 oraz f2(x) = ⎨⎪x ⎪⎪⎩−1 dla x ⩽0

nie są ciągłe - w obu przypadkach $x0 = 0$ jest argumentem, w którym wykres funkcji "rozrywa się"; jest to tzw. punkt nieciągłości funkcji. Funkcja ciągła nie może mieć punktów nieciągłości, czyli w każdym punkcie swojej dziedziny musi być ciągła. Pozostaje ściśle określić, co to wszystko znaczy. Ciągłość funkcji w punkcie można wyrazić w języku zbieżności ciągów:

Definicja. Funkcja $fR f D$ jest ciągła w $f, x0 ∈D$ jeśli dla każdego ciągu o wyrazach $f xn ∈D$ zbieżnego do $|x0$ ciąg $f(xn)$ jest zbieżny do $| f(x0).$

Gdy już wiemy, czym są funkcje ciągłe, zauważmy, że jest ich mnóstwo w otaczającym nas świecie - przyjrzyjmy się tylko funkcjom zależnym od czasu: temperatura w nagrzewającym się piekarniku zmienia się w sposób ciągły, ciśnienie w punkcie pomiarowym również, prędkość samochodu, nawet takiego z super mocnym silnikiem i hamulcami, nie może zmieniać się skokowo.

Warto podkreślić, że o ciągłości funkcji można mówić tylko w punktach jej dziedziny. Gdybyśmy przyjęli, że dziedziną funkcji $| f1$ i $f2$ jest $R ∖ {0},$ to byłyby one ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny, a więc byłyby funkcjami ciągłymi (mimo, że ich wykresy składają się z dwóch "kawałków"). Podobnie funkcja tangens jest ciągła, mimo iż jej wykres ma nieskończenie wiele składowych.

Istnieją funkcje, które nie są ciągłe w żadnym punkcie swojej dziedziny; sztandarowym przykładem jest funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 0 dla wszystkich argumentów wymiernych i $1$ dla wszystkich niewymiernych.

Funkcje ciągłe są bohaterami wielu ważnych twierdzeń matematycznych. Jedno z nich orzeka, że funkcja ciągła określona na przedziale posiada własność Darboux, czyli przyjmuje wszystkie wartości pośrednie: dla dowolnych $|a,b$ w tym przedziale oraz $|w$ leżącego między $f (a)$ i $f(b)$ istnieje $|c∈ [a,b],$ dla którego $| f(c) = w$ (Rys. 3). Funkcje o własności Darboux nie muszą być jednak ciągłe. Istnieją takie ekstremalne przykłady funkcji, dla których obraz dowolnego przedziału jest całą prostą rzeczywistą! Taka funkcja oczywiście spełnia własność Darboux i oczywiście nie może być ciągła (dlaczego?). Czytelniku, czy potrafisz skonstruować takiego potwora?

Delta mi!

Co to jest?

Drobiazgi

Ciągłość