Zbieżność

Zbieżność to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej, odnoszące się najczęściej do ciągów i funkcji (oraz rozmaitych obiektów matematycznych skonstruowanych przy ich użyciu, np. szeregów czy ciągów funkcyjnych). Tu zajmiemy się zbieżnością ciągów liczbowych.

Rys. 1. Gdyby $|a,b$ były granicami pewnego ciągu, to w każdym z kolorowych przedziałów musiałyby znaleźć się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, a to jest sprzeczność.

Mówimy, że ciąg liczbowy $(an)n> N$ jest zbieżny, jeśli istnieje taka liczba $|a,$ że dowolnie blisko niej znajdują się prawie wszystkie (czyli wszystkie poza skończoną liczbą) wyrazy ciągu. Innymi słowy, jeśli dla każdego $|ε> 0$ możemy odrzucić skończoną liczbę początkowych wyrazów ciągu, tak by wszystkie pozostałe należały do przedziału $(a −ε,a + ε),$ to mówimy, że ciąg jest zbieżny do $|a$ , i oznaczamy $|limn ∞ an = a.$ Z tej definicji w łatwy sposób wynika na przykład, że ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę (Rys. 1).

Przykładem ciągu zbieżnego jest ciąg $| (1/n)n>N,$ który jest zbieżny do zera. Ciągi, które nie są zbieżne, nazywamy rozbieżnymi. Rozbieżny jest np. ciąg o wyrazach $an = (−1)n$ ; istotnie, nie może on spełniać definicji zbieżności - żaden przedział długości 1 (co odpowiada $ε = 1 2$ ) nie zawiera prawie wszystkich wyrazów tego ciągu.

Warto wspomnieć o szczególnym przypadku ciągów, które nie są zbieżne - o ciągach rozbieżnych do nieskończoności (nazywanych również ciągami zbieżnymi do granicy niewłaściwej). Są to ciągi spełniające następujący warunek: dla dowolnej liczby $|M$ można odrzucić skończenie wiele wyrazów ciągu, tak by wszystkie pozostałe były większe od $. M$ Rozbieżny do nieskończoności jest oczywiście ciąg $| an = n,$ a także ciąg o wyrazach $n |an = n + (−1) .$

Pojęcie zbieżności pozwala zdefiniować sumę nieskończenie wielu liczb, czyli szereg. Dodawanie jest działaniem dwuargumentowym, w jednym kroku umiemy dodać tylko dwie liczby, więc aby dodać nieskończenie wiele liczb, trzeba by wykonać nieskończenie wiele kroków, a tego zrobić nie umiemy. I tu z pomocą przychodzi nam granica ciągu. Sumę nieskończenie wielu wyrazów $|a1 + a2 + ⋯ + an +⋯ ,$ zapisywaną skrótowo jako $∞ |P n 1an,$ definiujemy jako granicę sumy ciągu $|Sn = a1 + a2 +⋯ +an,$ zwanego ciągiem sum częściowych. Możemy zatem wyznaczyć sumę wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach $n q ,n = 0,1,2,...,$ dla $q ≠ 1$ suma częściowa ma postać $1−qn |Sn = 1+ q +q2 + ...+qn =-1− q$ (wzór ten łatwo udowodnić, mnożąc obie strony równości przez $(1 −q)$ ). Dla $| q < 1$ granica ciągu $Sn$ jest równa $|-1- 1− q,$ dla $| q > 1$ jest nieskończona, a dla $| q ⩽− 1$ nie umiemy określić szukanej sumy (bo ciąg $Sn$ nie ma granicy).

Warto dodać na koniec, że sumując wyrazy ciągu zbieżnego do zera, możemy uzyskać sumę nieskończoną - sztandarowym przykładem jest szereg harmoniczny, czyli suma

1+ -1+ 1-+ ...+ 1-+... 2 3 n

Rozbieżność do nieskończoności sumy $∞ |P n 11/n$ nie jest oczywista, ale dowód tego faktu nie jest szczególnie trudny. (Można go znaleźć w Delcie 07/2016).