Analiza, Dedekind i Cantor

Sztuka w trzech aktach z prologiem i epilogiem...

Prolog

Rzecz dotyczy pytania: na ile Dedekind jest potrzebny Analizie?

Akt I.

Zawiązanie akcji, czyli co to jest Analiza i co ma z tym wspólnego Dedekind; pojawienie się Cantora.

Ciało $R$ liczb rzeczywistych, które poznajemy (a raczej powinniśmy poznać) w szkole średniej, jest opisane pewnym układem aksjomatów. Aksjomaty te można podzielić na dwie klasy; pierwszą klasę stanowią wszystkie aksjomaty z wyjątkiem jednego - tzw. Aksjomatu Dedekinda. Aksjomaty pierwszej klasy mają charakter arytmetyczno-porządkowy. Mówią one m.in., że działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych są łączne, przemienne, że odejmowanie jest wykonalne zawsze, a dzielenie - tylko przez liczby różne od 0; że mnożenie jest rozdzielne względem dodawania; że dodawanie i mnożenie przez liczby dodatnie zachowują porządek (tzn. nierówności) itd. Cechą wspólną tych aksjomatów jest to, że mówią one o własnościach liczb rzeczywistych. Zupełnie inny charakter ma Aksjomat Dedekinda. Opisuje on pewną własność podzbiorów liczb rzeczywistych.

Mianowicie:

Aksjomat (Dedekinda). Każdy ograniczony podzbiór liczb rzeczywistych ma kres górny.

Nieco trudniej jest powiedzieć, co to jest Analiza. Najlepsze określenie, jakie potrafię wymyślić, jest następujące: Analiza jest to zbiór twierdzeń, dających się wyprowadzić z aksjomatów ciała liczb rzeczywistych, opisujących pewne własności funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na podzbiorach liczb rzeczywistych.

Najłatwiej wyjaśnić, o jakie własności tutaj chodzi, na przykładzie dwóch podstawowych twierdzeń Analizy.

Twierdzenie 1 (Darboux). Jeżeli funkcja ciągła $f ⟨a,b⟩ R$ przyjmuje na końcach przedziału $|⟨a, b⟩$ wartości różnych znaków, to wewnątrz przedziału istnieje taka liczba $|c,$ że $f (c) = 0.$

Twierdzenie 2 (Lagrange). Jeżeli funkcja ciągła $f ⟨a,b⟩ R$ jest różniczkowalna wewnątrz przedziału $⟨a,b ⟩,$ to wewnątrz tego przedziału istnieje taki punkt $c,$ że $| f(b) − f (a) = f ′(c) ⋅(b− a).$

Zanotujmy jeszcze jedno twierdzenie Analizy.

Twierdzenie 3 (Cantor). Ciało liczb rzeczywistych nie jest przeliczalne.

Akt II.

Czy wszystkie liczby rzeczywiste są rzeczywiście potrzebne, czyli tragiczny koniec Analizy.

Żeby zobaczyć, co się stanie z Analizą, kiedy zabraknie Aksjomatu Dedekinda, weźmy dowolne mniejsze podciało $P$ ciała liczb rzeczywistych, tzn. taki zbiór liczb, w którym spełnione są wszystkie aksjomaty należące do pierwszej klasy. Ponieważ $P ⊂ R,$ więc istnieje $x ∈R ∖ P. 0$ Niech $|a$ i $b$ będą takimi liczbami rzeczywistymi należącymi do $P,$ że $a < x0 < b$ (takie liczby muszą istnieć!). Niech $A$ jest zbiorem ograniczonym. W ciele $P$ nie jest spełniony Aksjomat Dedekinda, gdyż z tego, że $|sup A$ i $|x /∈ P, 0$ wynika, iż w ciele $|P$ zbiór $A$ nie ma kresu górnego. Gdyby Twierdzenia Analizy nie zależały od Aksjomatu Dedekinda, tzn. dawały się wyprowadzić z aksjomatów należących do pierwszej klasy, to ponieważ $P$ spełnia wszystkie aksjomaty należące do pierwszej klasy, byłyby one prawdziwe dla funkcji określonych na podzbiorach $|P$ o wartościach w $|P.$ Tak jednak nie jest. Np. określmy funkcję $| f ⟨a, b⟩P P,$ gdzie $⟨a,b ⟩P$ oznacza odcinek domknięty w $P,$ tzn. $|⟨a, b⟩P = {x ∈ P a⩽ x ⩽ b},$ wzorem

⎧⎪⎪− 1 dla a ⩽ x < x0, f(x) = ⎨ ⎪⎪⎩ 1 dla x0 < x ⩽ b.

Łatwo można zauważyć, że spełnia ona założenia twierdzeń 1 i 2, natomiast tezy tych twierdzeń nie zachodzą. Z definicji $f$ wynika, że $| f(c)≠ 0$ dla każdego $c ∈⟨a,b ⟩P,$ także teza twierdzenia 2 nie może zachodzić, gdyż $| ′ f (c) = 0$ dla każdego $| c ∈(a,b)$ i $| f(b) − f(a) = 2.$

Ponieważ cała nasza konstrukcja wynikła z faktu, że istnieje $x0 /∈ P,$ z rozważań powyższych można wyciągnąć

Wniosek 1. Każda liczba rzeczywista jest rzeczywiście potrzebna Analizie.

Z drugiej strony można pokazać, że rezygnacja z Aksjomatu Dedekinda spowoduje nie tylko "zawalenie się" twierdzeń 1 i 2. Rezygnacja taka spowoduje tragiczny koniec Analizy - zawali się w niej praktycznie wszystko. Zostaną tylko nieciekawe ruiny.

Akt III.

Cudowne ocalenie Analizy, czyli liczby i funkcje definiowalne.

Całe nieszczęście wyniknęło z tego, że chcieliśmy z jednej strony zmniejszyć zbiór liczb w Analizie, a z drugiej strony - pozostawić zbiór funkcji praktycznie bez zmian. Zawalenia się Analizy można uniknąć, jeżeli odpowiedniemu zmniejszeniu zbioru liczb towarzyszy odpowiednie zmniejszenie zbioru funkcji. Oto jeden z takich sposobów. Niech $D$ będzie podzbiorem liczb rzeczywistych, złożonym z liczb definiowalnych za pomocą działań arytmetycznych, liczb naturalnych, zbioru liczb naturalnych, indukcji i kresu górnego (tzn. z liczb, które można "konkretnie" zdefiniować za pomocą tych pojęć).

Łatwo można wykazać, że $D$ jest podciałem ciała liczb rzeczywistych. Np. żeby wykazać, że jeżeli $x ∈D,$ to $z = 1/x∈ D,$ wystarczy zauważyć, iż liczbę $|z$ można zdefiniować następująco:

" $|z$ jest jedyną liczbą, taką że $z⋅x = 1,$ gdzie $x$ jest zdefiniowane przez..."

Ponieważ zbiór wszystkich "konkretnych" definicji jest przeliczalny, zatem ciało $D$ jest przeliczalne; a więc $D$ jest istotnie mniejsze niż ciało liczb rzeczywistych (por. twierdzenie 3).

Umówmy się, że przez podzbiór ciała $D$ będziemy rozumieli podzbiór $|D$ definiowalny za pomocą pojęcia "liczby definiowalne" i pojęć wymienionych wyżej. Można udowodnić, że dla ciała $|D$ i jego podzbiorów (definiowalnych) spełniony jest Aksjomat Dedekinda, tj. każdy ograniczony podzbiór definiowalny w $|D$ ma kres górny należący do $|D.$

Wniosek 2. Ciało $|D$ spełnia wszystkie aksjomaty ciała liczb rzeczywistych (przy interpretacji: podzbiór = podzbiór definiowalny).

Rozważmy wszystkie funkcje definiowalne z $R$ w $R.$

Twierdzenie 4. Każda funkcja definiowalna przeprowadza liczby definiowalne w liczby definiowalne.

Dowód. Jeżeli $x$ jest liczbą definiowalną, a $f$ jest funkcją definiowalną, to definicja $z = f(x)$ wygląda następująco:

" $|z$ jest jedyną liczbą rzeczywistą, taką że $z = f (x),$ gdzie $f$ jest zdefiniowane przez..., a $x$ jest zdefiniowane przez...".

Zatem jeżeli ograniczymy się do liczb, podzbiorów i funkcji definiowalnych, to w otrzymanym modelu spełnione będą wszystkie aksjomaty ciała liczb rzeczywistych, a więc prawdziwe będą wszystkie twierdzenia Analizy (bo można je z tych aksjomatów wyprowadzić). Nazwijmy sobie tę teorię Analizą Definiowalną.

Wniosek 3. Mimo zmniejszenia ciała liczb rzeczywistych Analizę udało się jednak uratować.

Wniosek 4. W obrębie Analizy Definiowalnej wszystkie twierdzenia Analizy są prawdziwe przy następującej interpretacji:

$liczby rzeczywiste — liczby rzeczywiste definiowalne podzbiory liczb rzeczywistych — definiowalne podzbiory liczb definiowalnych funkcje — funkcje definiowalne itd. ..$

W szczególności, w obrębie Analizy Definiowalnej prawdziwe jest twierdzenie 3 (porównaj definicję zbioru przeliczalnego). To znaczy, że zachodzi

Twierdzenie 5 (Cantora dla Analizy Definiowalnej). Ciało $D$ nie jest przeliczalne.

Epilog

Zaskakujące konsekwencje, czyli jak przeliczalność zbioru (i nie tylko ona) może zależeć od naszego obrazu świata.

Na początku aktu III stwierdziliśmy, że ciało $D$ jest przeliczalne, na końcu zaś tego samego aktu podaliśmy twierdzenie Cantora mówiące, że ciało $D$ nie jest przeliczalne. Sprzeczność! Chcieliśmy ocalić Analizę, a w efekcie utopiliśmy Matematykę. Sprawa domaga się wyjaśnienia!

Wyjaśnienie takie jest stosunkowo proste. To, czy pewien zbiór $|A$ jest przeliczalny, czy nie, nie jest własnością absolutną tego zbioru. Może to w pewnych przypadkach zależeć od przyjętego obrazu (modelu) "świata". Mianowicie, w naszym przykładzie

w przypadku Analizy model zawierał dużo elementów i dużo funkcji - a więc nic dziwnego, że wśród nich znalazła się funkcja $f$ odwzorowująca zbiór liczb naturalnych na zbiór $D,$ co spowodowało, że zbiór $|D$ z punktu widzenia Analizy jest przeliczalny (porównaj definicję zbioru przeliczalnego),
w przypadku Analizy Definiowalnej model zawierał mniej elementów i mniej funkcji; twierdzenie Cantora dla Analizy Definiowalnej orzeka, iż tych funkcji jest tak mało, że nie znajduje się wśród nich żadna funkcja odwzorowująca liczby naturalne na $D.$

Ponieważ dodawanie jest "efektywnie" wykonalne, więc w każdym modelu analizy $|2+ 2$ musi się równać $|4.$ Natomiast przeliczalność zbioru nie jest efektywnie sprawdzalna. To znaczy - nie istnieje skończony algorytm pozwalający rozstrzygnąć, czy dany zbiór jest przeliczalny, czy nie. Zdarza się, że w przypadku takich nieefektywnych pojęć odpowiedź na pytanie zależy od przyjętego modelu świata. I tak właśnie jest z przeliczalnością zbioru $D.$ Podobnie nieefektywnym postulatem jest używany w Geometrii:

Aksjomat (Archimedesa). Odkładając wielokrotnie na prostej dany odcinek $|a,$ możemy uzyskać odcinek większy od danego odcinka $b.$

I w tym przypadku odpowiedź na pytanie, czy tak jest naprawdę, zależy od przyjętego modelu Geometrii.