Lew i człowiek
Około 1930 roku Richard Rado (1906-1989) postawił następujący problem: Lew
i człowiek
– traktowani jako punkty – poruszają się
w domkniętym kole jednostkowym z jednakowymi maksymalnymi
prędkościami. Czy (głodny) lew zawsze złapie człowieka?
Przez ponad dwadzieścia lat wierzono, że w tej „grze” lew jest zawsze zwycięzcą. Uzasadniała to następująca strategia:

Rys. 1

Rys. 2

Rys. 3

Rys. 4
Strategia lwa. Lew, przechodząc do środka koła, zmusza człowieka do zajęcia
pozycji na brzegu koła i ucieczki z maksymalną prędkością wzdłuż brzegu
koła (każde odejście człowieka od brzegu to zbliżenie się do lwa). Załóżmy,
że lew znajduje się początkowo w punkcie
a człowiek
w punkcie
Sprytny lew przemieszcza się z maksymalną
prędkością, stale pozostając na promieniu
gdzie
jest
położeniem człowieka w chwili
Oznacza to, że lew biegnie po łuku
mniejszego okręgu
(o promieniu
rysunek 1). Ponieważ łuki
i
są równej długości (lew i człowiek biegną
z jednakowymi maksymalnymi prędkościami), więc lew spotka człowieka
w punkcie
Nagła zmiana kierunku ucieczki człowieka, np.
w punkcie
nie poprawia sytuacji człowieka! Lew, odbijając
symetrycznie mały okrąg
wzdłuż prostej
będzie biegł po
łuku
okręgu
(rysunek 2). Zatem, bez względu
na
tor ucieczki człowieka po brzegu koła, zostanie on złapany i to w czasie nie większym niż czas potrzebny na to, by lew przebiegł połowę obwodu mniejszego okręgu.
Uwaga. Przypadek ten pokazuje, że często spotykana sugestia „najlepszą metodą pościgu jest pościg w kierunku uciekającego” w wielu sytuacjach nie ma żadnego racjonalnego uzasadnienia – gdyby w rozpatrywanej „grze” lew biegł w kierunku uciekającego człowieka – wzdłuż tzw. krzywej pościgu – to pozostałby głodny (rysunek 3).
Dopiero w 1952 r. – ponad dwadzieścia lat po postawieniu problemu – Abram S. Besicovitch (1891-1970) zauważył, że nieuzasadnione jest zakładanie, iż najlepszą strategią dla człowieka jest „być jak najdalej od lwa i poruszać się wzdłuż brzegu koła”, oraz zaproponował błyskotliwy sposób skutecznej ucieczki przed lwem. Opisał to J.E. Littlewood w A Mathematician’s Miscellany, Methuen and Co., Ltd., London 1953, s. 135-136.
Strategia człowieka (Besicovitch). Załóżmy, że lew znajduje się
w punkcie
a człowiek w punkcie
Kolejne
pozycje zajmowane przez lwa i człowieka – zawsze poruszających się
z jednakowymi maksymalnymi prędkościami – będziemy oznaczać literami
odpowiednio. Człowiek przemieszcza się
wzdłuż łamanej o wierzchołkach
utworzonej z odcinków
o długościach

gdzie każdy odcinek
jest prostopadły do promienia
(rysunek 4).
Wówczas:
Po pierwsze, całkowita długość łamanej
jest nieskończona,
bo

(gdyby było
to wobec

mielibyśmy sprzeczność).
Po drugie, lew nie może złapać człowieka.
Istotnie. Niech człowiek przemieszcza się po odcinku, a lew utrzymuje się na
promieniu
jak zostało to ustalone w Strategii lwa. Ponieważ
odcinek
jest prostopadły do promienia
więc
lew nie może złapać człowieka, gdy człowiek przebiega odcinek
Podobnie, ponieważ odcinek
jest prostopadły do
promienia
, więc lew nie może złapać człowieka, gdy
człowiek przebiega odcinek
i tak we wszystkich pozostałych
odcinkach nieskończenie długiej łamanej.
Uwaga. Łamana
nie musi tworzyć „spirali”, biegnąc np. stale
zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ale w każdym z wierzchołków może
zmienić kierunek na przeciwny. Gdy zaś lew porusza się według innych zasad,
to należy spojrzeć, gdzie lew znajduje się w
-tym kroku – jeśli
znajduje się we wnętrzu jednej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez
prostą
to człowiek powinien przemieszczać się (wzdłuż łamanej)
w kierunku półpłaszczyzny bez lwa.
Co więcej, łamana
zawiera się we wnętrzu koła jednostkowego.
Z twierdzenia Pitagorasa bowiem mamy (rysunek 4):

więc

a stąd dla
zachodzi
![]() | (1) |

Rys. 5
Aby oszacować (od góry) wartość wyrażenia
rozważmy
funkcję
(rysunek 5). Wówczas

Ponieważ

więc
![]() | (2) |
Stosując oszacowanie
w wyrażeniu
otrzymujemy

co kończy uzasadnienie poprawności strategii Besicovitcha.
Istnieje wiele wariantów problemu Rado, na przykład:
Szpaki i mucha. W
-wymiarowej kuli jednostkowej znajdują się szpaki
i jedna mucha. Wszyscy poruszają się z jednakową maksymalną prędkością.
Jaka minimalna liczba szpaków gwarantuje pochwycenie muchy? (Odpowiedź:
szpaków wystarczy, a
nie.)
Niektóre z tego typu problemów wciąż czekają na swoich pogromców. Jeden z nich ma wyjątkowo proste sformułowanie.
Lwy na polu golfowym. Czy dwa lwy złapią człowieka na ograniczonym polu golfowym ze skończenie wieloma jeziorkami? (Zakładamy, że wszyscy uczestnicy „gry” poruszają się z jednakowymi maksymalnymi prędkościami, nie mogą wchodzić do wody, a brzegi jeziorek są krzywymi gładkimi.)