Delta mi!

W tym artykule ilustrujemy potęgę logarytmów w projektowaniu efektywnych algorytmów i obliczeń. Myślenie, w tle którego stoi logarytm, ukryty lub widoczny, nazwaliśmy myśleniem logarytmicznym. Stanowi ono jedną z podstawowych kompetencji niezbędnych przy efektywnym rozwiązywaniu rzeczywistych problemów informatycznych. Pokazujemy również - co może być ciekawe dla nauczycieli matematyki - jak wprowadzić pojęcie logarytmu, nie odwołując się do matematycznego formalizmu, a posługując się koncepcyjnym modelem redukcji rozmiaru problemu w każdym (lub w co drugim) kroku co najmniej o połowę. Może Cię zdziwić, że ta idea prowadząca do logarytmu występuje w algorytmie Euklidesa, który został opisany niemal 2000 lat przed wynalezieniem logarytmu przez Napiera.

Sztuka w trzech aktach z prologiem i epilogiem...

Punktem wyjścia niech będzie najsłynniejsza chyba matematyczna konstatacja, ta mianowicie, że liczba  jest niewymierna...

Matematyka, jak przystało na królową nauk, jest dyscypliną dość trudną i wymagającą umiejętności abstrakcyjnego myślenia. Jeżeli przyjąć za Galileuszem, że matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat, to trzeba przyznać, że jest to alfabet dość złożony i nie jest łatwo nauczyć się dobrze nim posługiwać. Jednym z jego ważniejszych elementów jest niewątpliwie nieskończoność.

Na nieskończoności opierają się konstrukcje większości obiektów analizy matematycznej, choć często w niejawny sposób. Przyjrzyjmy się choćby ciągłości – pojęciu na pierwszy rzut oka z nieskończonością niezwiązanemu. Można powiedzieć, że funkcja jest ciągła, jeśli „nie rozrywa” dziedziny...

W dowodzeniu nierówności często pomocna bywa tak zwana metoda stycznych. Zdarza się, że wykres funkcji leży nad pewną prostą styczną do niego lub pod taką prostą (wszędzie lub tylko na jakimś przedziale). To oznacza, że możemy oszacować wartości tej funkcji przez wartości funkcji liniowej, której wykresem jest wybrana styczna. Żeby takie oszacowanie doprowadziło do celu, wybrana styczna musi przechodzić przez punkt, dla którego badana nierówność jest równością. Przyjrzymy się kilku przykładom zastosowań tej metody.

Około 1930 roku Richard Rado (1906-1989) postawił następujący problem: Lew  i człowiek – traktowani jako punkty – poruszają się w domkniętym kole jednostkowym z jednakowymi maksymalnymi prędkościami. Czy (głodny) lew zawsze złapie człowieka?

Zaczęło się od okręgu. Wykres funkcji sinus okazał się okręgiem. Jak to możliwe? Okazuje się, że czasem lekkie odstąpienie od utartego punktu widzenia może nas daleko zaprowadzić. Wystarczy, na przykład, wybrać inny niż prostokątny układ współrzędnych do przedstawiania wykresów funkcji.

Sprawdź, Czytelniku, czy potrafisz...

Jednym z fundamentalnych pojęć analizy matematycznej jest bez wątpienia różniczkowalność. Dla funkcji jednej zmiennej, określonej na pewnym otwartym przedziale, równoważna jest ona istnieniu pochodnej funkcji w każdym punkcie tego przedziału. Jak wiadomo, wszystkie funkcje elementarne są różniczkowalne w tym klasycznym sensie, jednak wiele innych prostych i zarazem użytecznych funkcji już nie.

W Delcie 10/2009, w artykule Czy naprawdę prawie robi wielką różnicę, Paulina Małolepsza i Tomasz Małolepszy piszą o przykładach funkcji ciągłych, które są różniczkowalne prawie wszędzie, ale jednak nie są całkami swoich pochodnych.

W różnych sytuacjach pojawiają się sumy nieskończenie wielu składników. Już w szkołach podstawowych pojawiają się obiekty typu 7132,32323232323...

Obliczanie objętości brył, poza najprostszymi przypadkami, wymaga (niestety) obliczenia pewnej całki. Jak zwykle w matematyce, czasami można ominąć całkowanie, prowadząc obliczenia według ciekawego pomysłu. Jednym z takich pomysłów jest użycie zasady Cavalieriego: jeśli dwie bryły w przecięciu z każdą płaszczyzną równoległą do wybranej dają przekrój o tym samym polu, to ich objętości są równe. Umiejętnie dobierając bryłę, która ma takie same przekroje, jak ta, której objętość chcemy obliczyć, możemy otrzymać wynik bez obliczania skomplikowanych całek.

Osoby osiągające dochody muszą płacić podatki. Podatki od pensji są najczęściej obliczane i odprowadzane przez instytucje, w których pracujemy. Podatki od dochodów uzyskiwanych na kontach bankowych są odprowadzane, w wysokości 19%, przez banki. Jest to tak zwany podatek Belki.

Gdy poznajemy matematykę, liczby oznaczane symbolami  oraz pojawiają się bardzo często. Uznając ważność tych liczb, badamy ich arytmetyczną naturę. Wiemy, że  jest liczbą niewymierną (L. Euler, 1737 r.) oraz  jest liczbą niewymierną (J.H. Lambert, 1767 r.). Przestępność liczby  wykazał Ch. Hermite w 1873 r., a przestępność liczby  wykazał w 1882 r. F. Lindemann. Wyznaczenie dobrych przybliżeń wartości tych liczb nie jest zadaniem banalnym. Przypomnijmy, jak można to zrobić.

Pod koniec XIX wieku w matematyce zaczęły pojawiać się niespotykane wcześniej obiekty geometryczne, charakteryzujące się skomplikowanym kształtem i zjawiskiem „samopodobieństwa” (podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości zbioru). Tego rodzaju zbiory nazywamy dziś fraktalami. Aby lepiej opisać geometrię takich obiektów, wykorzystuje się różne odmiany pojęcia wymiaru, zwane czasami wymiarami fraktalnymi.

Jednym z najważniejszych pojęć matematycznych jest ciągłość. Założenie jej prowadzi do bardzo interesujących, a czasem nawet zaskakujących wniosków. Klasyczną własnością (zwaną własnością Darboux choć to nie Gaston Darboux jest jej autorem!) jest przyjmowanie wszystkich wartości pośrednich przez funkcję ciągłą na przedziale,oraz uogólnienia tego faktu. Konsekwencje tego mogą nas niejednokrotnie zaskoczyć.

Jak wiadomo, pochodna opisuje zmiany danej wielkości (np. tak działa prędkościomierz w samochodzie). Z kolei całka opisuje sytuację odwrotną – odtwarza daną wielkość z jej zmienności (tak np. działa licznik energii elektrycznej).

Jednym z głównych narzędzi służących do matematycznego opisu otaczającego nas świata są równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe.

Tangram to stara chińska zabawa, polegająca na układaniu zadanych figur z siedmiu klocków, ułożonych na rysunku 1 w kwadrat.

W numerze poświęconym mierze (8/2008) nie sposób pominąć tych pierwszych, czyli zwykłych miar geometrycznych (zważmy, że geometria ma miarę w swojej nazwie).Wydaje się, że wiemy o nich wszystko, bo przecież stykaliśmy się z nimi niemal od zerówki. Okazuje się jednak, że i na ich temat można postawić pytania o nieoczywistych odpowiedziach.

Korzenie teorii miary sięgają tak podstawowych pojęć, jak długość (np. odcinka), pole (np. koła) i objętość (np. kuli). Wraz z rozwojem matematyki konieczne stało się uogólnienie tych pojęć w taki sposób, żeby dało się „zmierzyć” coraz bardziej skomplikowane podzbiory danej przestrzeni – na przykład prostej rzeczywistej do której w tym artykule ograniczymy nasze rozważania.

Joseph Louis Lagrange (1736--1813) był ogromnie zniesmaczony ciągle nieudanymi próbami ścisłego zdefiniowania koniecznego dla zastosowań matematyki pojęcia pochodnej funkcji. Rzecz udawała się właściwie tylko dla wielomianów.